Через вершину С треугольника ABC провели прямую, пересекающую сторону АВ в точке F. Из точек А и В на прямую CF опустили перпендикуляры AM и BN. Докажите, что если FM = FN, то отрезок CF - медиана треугольника ABC

из   вершин трапеции на основание опустим высоты bk и cf соответственно.

ak=fd=(b-a)/2

ab=cd-=c

fc=sqrt(-a)/2)^2

af=ak+kf=(b-a)/2+a=(b-a+2a)2=(b+a)/2

ac=sqrt(-a)^2/4+((b+a)^2/4)=

=sqrt(4c^2-(b^2-2ab+a^2)+(b^2+2ab+a^2)/4=sqrt(4c^2+4ab)/4=(1/2)*sqrt(c^2+ab)

согласно теореме синусов

  sin b              sin c            sin a

= =

      ac                  ab                    bc

тогда  ав = ас * sin с / sin b

треугольник авс - равнобедренный, поэтому

sin с = sin (π - 2*b) = sin 2*b = 2 * sin b * cos b

угол при основании равнобедренного треугольника всегда острый, поэтому

cos b = √(1 - sin²b) = √(1 - (3 * √ 23 / 16)²) = √(1 - 207 / 256) = √(49 / 256) = 7/16

тогда  sin c = 2 * sin b * 7/16 = sin b * 7/8 ,  следовательно

ab = ac * 7 / 8 = 16 * 7 / 8 = 14

треугольники все и вс1е1 подобны по первому признаку. тогда их стороны пропорциональны: получаем пропорцию:   вс1/вс=с1е1/се=3/8  вс1=вс*3/8=28*3/8=10,5.