решение: пусть abcd – данная трапеция, ab||cd,ad=bc,ab< cd.
угол adc=угол bcd=a
пусть о – центр вписанной в трапецию окружности. k, l, m, n – точки касания окружности со сторонами ab,bc,cd,ad соотвеcтвенно.
площадь трапеции равна (ab+cd)\2*2r=(ab+cd)*r.
центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.
угол odc=угол ocd=а\2
угол oab=угол oba =90-а\2.
далее по свойству суммы углов четырехугольника (сумма равна 360, один из улов а или 180-а, два других по 90)
угол kon= угол mon=180-а.
угол kol= угол mol=a.
площадь klmn равна 4*1\2*r^2*sin a=2*r^2*sin a (площадь четырех равновеликих треугольников , две стороны равны радиусам, синусы углов равны sin а).
dn=cn=r*ctg (a\2), cd=2*r*ctg (a\2).
al=bl=r*ctg(90-a\2)=r*tg (a\2), ab=2*r*tg (a\2)
площадь трапеции abcd равна (ab+cd)*r=(2*r*ctg (a\2)+2*r*tg (a\2))*r=
2*r^2*(tg(a\2)+ctg(
площадь четырехугольника с вершинами в точках касания занимает процент площади трапеции
2*r^2*sin a\(2*r^2*(tg(a\2)+ctg( *100%=
=sin a\(tg (a\2)+ctg(a\2))*100%=
=sin a*tg (a\2)\ (tg^2 (a\2)+1)*100 %=(sin a^2 * 50) %
ответ: (sin a^2 * 50) %
Популярные вопросы