Кут між площинами трикутників АВС і АВD дорівнює 45º. Трикутник АВС – рівносторонній зі стороною 4 см, трикутник ABD – рівнобедрений, AD=BD=6 см. Знайти довжину відрізка CD.

проекция точки a на плоскость создает прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - прямая к плоскости (ac), а два катета - это расстояние от a к плоскости (ab) и проекция а на плоскость (сb)

угол acb=60°, тогда угол cab=30°

сторона, лежащая против угла 30° равна половине гипотенузы, то есть проекция точки aс на плоскость равна 6/2=3

по теореме пифагора

(ab)^2=(ac)^2-(cb)^2=36-9=27

ab=sqrt(27)=3*sqrt(3) - расстояние от a к плоскости

(180-42)/2=69 гр.

180-69=111 гр. 

два угла по 69 град., два угла по 111 град. 

если с - искомая точка на оси оу, то ее координаты  (0, у, 0)

i ac i² = (0 - 4)² + (y - (-1))² + (0 - 3)² = 16 + y² + 2 * y + 1 + 9 = y² + 2 * y + 26

i ac i² = (0 - 1)² + (y - 3)² + (0 - 0)² = 1 + y² - 6 * y + 9 + 0 = y² -  6 * y + 10

отже    y² + 2 * y + 26 = y² - 6 * y + 10 ,  звідки  у = -2

отже, шукана точка  с = (0; -2; 0)

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон

2(ab²+ad²)=ac²+bd²

200= 52+bd²

bd²=148

bd=2 корней из 37