Найди площадь такого сечения куба, которое проходит через диагонали соседних граней, имеющих общий
конец — например, через диагонали A1D и A1B — если длина ребра куба составляет 15 см.​

|     /

|   h

| /

c

высота,  медиана и  биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, .

из этого следует, что треугольники ahc и ahb - прямоугольные. исходя из теоремы пифагора:

из определения высоты: ch = bh, соответсвенно,

cb = ch + bh = 30

в основании проведем высоту ак=а*(корень из 3)/2, da/ak=tg30=корень из3/3, da=a/2, dk=корень из(dа^2+ak^2)=a ,имеем 2 треуг. скатетами a ,a/2и один площадью a^2/2(bdc), всего s(бок)=ав квадрате.

вас = 60 гр. ао - биссектриса, о - центр впис. окр-ти. в и с - точки касания.

пусть точка к прин окр-ти и: км перп ас, км = 1, kn перп ав, kn = 4

в прямоугольной трапеции сокм: ос = ок = r, км = 1

проведем высоту кр на основание ос. ор = ос - км = r - 1

тогда из пр. тр-ка кор:

кр = кор(ок^2 - op^2) = кор(r^2 - (r-1)^2) = кор(2r-1).

кр = см = кор(2r-1).

ам = ас + см = rкор3 + кор(2r-1) (т.к. ас = r/tg30   из тр. аос)

теперь проведем ак.

из тр. акм :   ak = 1/sina, где а - угол кам

из тр. nak :   ак = 4/sin(60-a)

приравняв, получим:

sin(60-a) / sina = 4, или раскрыв синус разности и поделив почленно:

(кор3)ctga - 1 = 8     ctga = 3кор3

но из тр-ка акм:

ctga = am/mk = rкор3 + кор(2r-1)

приравняем и получим:

(3-r)кор3 = кор(2r-1).   1< r< 4

3r^2 - 20r + 28 = 0     d = 64   r = 2 (другой корень > 4)

ответ: 2

первую сторону четырехугольника примем за х. тогда вторая сторона -

5 * х / 4 = 1,25 * x, третья сторона - 8 * х / 4 = 2 * х  и  четвертая -

2 * х / 4 = 0,5 * x.

периметр четырехугольника - это сумма его сторон, поэтому получаем уравнение   

х + 1,25 * х + 2 * х + 0,5 * х = 4,75 * х = 57 , откуда  х = 12

итак, одна сторона четырехугольника - 12 см, а остальные - 15, 24 и 6 см.