Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см.

Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:                       r = (a + b - c)/2        где a и b катеты, с - гипотенуза, то:         2 = (a + b - 13)/2       2*2 = a + b - 13       4 = a + b - 13       a + b = 17        (1) по теореме пифагора: a² + b² = c²     a² + b² = 169    (2) из (1) и (2) получаем:     { а + b = 17        { a² + b² = 169       { a = 17 - b       { (17 - b)² + b² = 169 ,       2b² - 34b + 289 = 169       b² - 17b + 60 = 0              d = b²-4ac = 289-240 = 49       b₁ = (-b+√d)/2a = 12 (см)        a₁ = 17 - b₁ = 5 (см)        b₂ = (-b- √d)/2a = 5 (см)          a₂ = 17 - b₂ = 12 (см) ответ: 12 cм, 5 см; 5 см, 12 см

ак=5, мс=5.

10+5+5 =20

для определения площадей треугольников воспользуемся формулой герона

 

s=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)

для первого треугольника p=(1/2)(a+b+c)=(1/2)*25=12,5

s1=sqrt(12,5*(12,5-5)(12,5-8)(12,5-12))=sqrt(210,9375)

 

для второго треугольника p=(1/2)(a+b+c)=(1/2)*75=37,5

s2=sqrt(37,5*(37,5-15)(37,5-24)(37,5-36))=sqrt(17085,9375)

 

s2/s1=sqrt(17085,9375)/sqrt(210,9375)=sqrt(17085,9375/210,9375)=sqrt(81)=9

второй треугольник к первому (площади) относятся как 9: 1