4) в правильном восьмиугольнике abcdefgh проведены диагонали ch и dg. докажите, что четырехугольник cdgh - прямоугольник, и выразите его стороны через сторону восьмиугольника.

Раз восьмиугольник правильный, значит все его стороны равны и все углы тоже. угол такого восьмиугольника можно найти по формуле (где n - количество углов): градусов, значит, каждый угол восьмиугольника равен 135 градусов. рассмотрим четырёхугольник авсн, в нём два угла по 135 градусов и два по х градусов (ав параллельна сн так как точки а и в равноудалены от точек с и н, это получилась равнобедренная трапеция). в выпуклом четырёхугольнике сумма углов равна 360 градусов, таким образом 2х=90 градусов, следовательно, х=45 градусов. отсюда мы можем найти углы dсн и gнс, которые равны по 135-х=90 градусов. аналогично углы сdg и dgн равны по 90 градусов, значит, cdgh - прямоугольник. одна сторона этого прямоугольника равна стороне восьмиугольника, теперь найдём вторую. для этого опустим в трапеции авсн высоты и .   , потому что получился прямоугольник, а таким образом стороны прямоугольника равны ав и