Втреугольнике авс точка о-центр вписанной окружности. найдите длину радиуса окружности, описанной около этого треугольника, если ао=6 см, во=10 см, угол с=60 градусов

Находим угол аов с учетом того, что ао и ов - биссектрисы углов а и в (по свойству центра вписанной окружности): аов = 180-(1/2)а-(1/2)в = /2)(а+в))  = /2)(180-60) = = 180-90+30 = 120°. зная 2 стороны и угол, находим сторону ав треугольника аов: ав =√(6²+10²-2*6*10*cos120) =  √36+100-120*(-1/2)) =  √196 = 14 см. зная стороны треугольника аов, находим углы а и в (а = 2*вао, в =2*аво) по теореме синусов. sin bao = sin120*10/14 =  0.866025*10/14 =  0.6185896°. угол вао = arc sin  0.6185896 =    0.6669463  радиан  = 38.213211° угол а = 2* 38.213211 =  76.426421°. sin вao = sin120*6/14 =  0.3711537.угол вао =  arc sin  0.3711537 =  0.3802512  радиан =  21.786789°. угол в = 2*   21.786789 =  43.573579°. зная углы треугольника авс и одну сторону ав = 14 см, находим 2 другие по теореме синусов: вс = 14*sin a /sin c = 14* 0.972069 /  0.866025 =    15.71428571   см.ас =  14*sin в /sin c = 14* 0.6892855 /    0.866025 =    11.14285714 см.находим площадь треугольника авс по формуле герона: s =  √(p(p-a)(p-b)(p-c)) =  75.82141 см². здесь р = (а+в+с)/2 =  20.428571 см.радиус описанной окружности r = abc / 4s =  8.0829038 см.

Пусть дана окружность с центром о и в нее вписан треугольник abc. соединим центр окружности о с вершинами a и b треугольника, а также опустим высоту оe на сторону ab с центра окружности. рассмотрим треугольник oeb, oe перпендикулярна ab, то есть угол oeb – прямой, ob=r (радиусу вписанной окружности) и oe=r/2 (по условию). тогда по теореме пифагора (eb)^2=(ob)^2-(oe)^2=r^2-r^2/4=3r^2/4 eb=r*sqrt(3)/2 рассмотрим треугольник aeo. он равен треугольнику oeb, поскольку ao=ob=r и oe- общая сторона. тогда и ae=r*sqrt(3)/2, а значит ab=ae+eb= r*sqrt(3)/2+ r*sqrt(3)/2=r*sqrt(3) поскольку в равносторонем треугольнике сторона равна r*sqrt(3), то и наше утверждение доказано