Найдите катеты прямоугольного треугольника, если радиус вписаной в него окружности равен 2 см, а медиана на гипотенузу равна 5 см.

медина прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу являетс радиусом описанной окружности и равна половине длины гипотенузы. треугольник авс, где в-прямой угол во-медиана и во=ао=ос=5. ас-гипотенуза и равна 5+5=10см

катеты а и b. по теореме пифагора

а^2+b^2=10^2

радиус вписанной окружности равен

r=(a+b-c): 2=2

(a+b-10): 2=2

a+b-10=4

a+b=14

a=14-b

подставляем в первое уравнение

(14-b)^2+b^2=100

196-28b+b^2+b^2=100

2b^2-28b+96=0 (сокращаем на 2)

b^2-14b+48=0

дискрим д=196-192=4, корень из д=2

b1=(14-2)/2=6

b2=(14+2)/2=8

если b=6, то а=14-6=8

если b=8, то а=14-8=6

катеты треугольника равны 6см и 8см

найдем второй катет - а

а*а=13*13-12*12=169-144=25

а=5, следовательно высота призмы тоже равна 5 (наим. грань квадрат)

sбок=(12+13+5)*5=150 кв.см 

в равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является высотой и медианой. найдем длину основания треугольника:

  √10²-8²=√100-64=√36=6 см, длина основания треугольника а= 2 *6 = 12 см.

радиус вписанной окружности: r=s/p

радиус описанной окружности: r = abc/4s

s= 12* 8 /2 = 48 cм²

p=(12 + 10 + 10)/2 = 16

r = 48/16 = 3 cм

r = 12 * 10 * 10 / (4*48) =25/4 = 6,25 cм