Решить : * через точку о, расположенную между параллельными прямыми плоскостями α и β, проведены три прямые, которые пересекают эти плоскости в точках a, a1, b, b1 и c, c1 соответственно. найдите стороны трегольника a1b1c1, если его площадь равна 336 см² и ab=13см, bc=14см, ac=15см.

Подробное решение.  сделаем   рисунок. очевидно, что треугольники авс и а1в1с1 подобны. докажем это. прямые, которые пересекают плоскости   α и β,   образуют пересекающиеся прямые. через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. притом только одну.   если две  параллельные плоскости  пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. следовательно,  ав||а₁в₁,  вс||в₁с₁,  ас||а ₁с₁ в   каждой паре  треугольников сов  и с₁ ов₁ , аов  и а₁ ов₁, аос и а₁ос₁    соответственно углы равны. один - как вертикальный, два - как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. если углы одного треугольника равны углам   другого треугольника, зто такие треугольники подобны.отсюда следует подобие треугольников авс и ,а₁в₁с₁,  т.к. их стороны соответственно пропорциональны. итак, треугольники подобны. в подобных треугольниках площади относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров.  площадь треугольника авс по формуле герона равна 84 см²  ( давать вычисления не буду, их можно сделать самостоятельно. замечу, что такое отношение сторон треугольника встречается часто, и эту площадь многие знают наизусть.) найдем отношение площадей этих подобных треугольников. s(abc): s (a1b1c1)=336: 84=4 k²=4 k=2следовательно, стороны треугольника  а₁в₁с₁  в два раза больше сторон треугольника авс и равны  а₁в₁= 26 см в₁с₁= 28 см а₁с₁= 30 см для проверки можно вычислить по ф. герона площадь треугольника  а₁в₁с₁   получим   336 см² [email  protected]

Рассматриваем треугольник авд,он прямоугольный. по теореме пифагора находим гипотенузу ав: ав=корень из 5 в квадрате + 12 в квадрате=13. теперь рассматриваем треугольник вдс,аналогично находим сторону вс: вс= корень из 12 в кв.+16 в кв=20. ас=ад+дс=5+16=21. периметр равен сумме длин всех сторон: р=13+21+20=54

1) треугольник авс и треугольник а1в1с1 равны

значит ва=в1а1и угол а=угол а1

прямоугольные треугольники dва и d1в1а1 равны за гипотенузой(ва=в1а1) и острым углом(угол а=угол а1)

из равности треугольников слдует равенство вd = в1d1, то есть требуемое

 

2) прямоугольные треугольники adk и cep равны за первым признаком равенства треугольников

угол k=угол р=90 градусов ак=рс,dk=ре по условию.

из равенства треугольников следует равенство углов

угол а=угол с, а за признаком равнобедрнного треугольника

треугольник авс равнобедренный и ав=вс, что и требовалось доказать.