Окружность проходит через вершины M и K треугольника MKN, сторону MN пересекает в точке P, а сторону KN в точке T. Найдите угол KNM исходного треугольника, если угол KMP=57, а угол TPN=68.

55°

Объяснение:

Четырёхугольник MPTK — вписанный ⇒ ∠KNM + ∠KTP = 180° ⇒ ∠KNM = 180° - ∠KTP. ∠KTP и ∠PTN — смежные ⇒ ∠KTP + ∠PTN = 180° ⇒ ∠KTP = 180° - ∠PTN. Тогда ∠KNM = 180° - ∠KTP = 180° - (180° - ∠PTN) = ∠PTN ⇒ ∠KNM = ∠PTN = 57°.

В треугольнике NPT ∠TPN + ∠PTN + ∠KNM = 57° + 68° + ∠KNM = 125° + ∠KNM = 180° ⇒ ∠KNM = 180° - 125° = 55°

δеот подобен δдвт по трем углам

медианы δ пересекаясь в т.о делятся в соотношении 2: 1

во/от=2/1

из подобия δ

вд/ое=вт/от=(во+от)/от=3/1

вд=3ое

решение: боковые стороны равнобедренного треугольника равны:

ac=bc

по теореме пифагора

ac=корень(cd^2+(ab\2)^2)

ac=корень(5^2+(12\2)^2)=корень(61) см

вс=корень(61) см

полуперитр треугольника авс равен поллусумме сторон треугольника р=(ав+вс+ас)\2

р=(12+корень(61)+корень(61))\2=корень(61)+6 cм

площадь треугольника равна половине произведения высоты на длину основания

s (abc) =1\2*cd*ab

s=1\2*12*5=30 см^2

радиус треугольника равен отношению площади треугольника к его полупериметру

r (abc)= s\p

r=30\(корень(61)+6)=30\(61-36)*(корень(61)-6)=

=6\5*(корень(61)-6) cм.

ответ: 6\5*(корень(61)-6) cм.