B равнобедренном треугольнике ABC на боковой стороне BC отмечена точка M такая, что отрезок MC равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне AB отмечена точка K такая, что угол KMC — прямой. Известно, что ∠BCK=25∘. Найдите угол BAC.

Так как высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны, то можем рассмотреть только высоту CE.

Отрезок СК виден из точек Е и М под прямым углом, поэтому четыр-ник СМКЕ можно вписать в окружность. Это ключевой факт в этой задаче. Дальше просто считаем.

∠КЕМ = ∠КСМ = 25° - углы опираются на общую дугу КМ

∠МЕС = 90° - ∠КЕМ = 90° - 25° = 65°

СЕ = СМ - по условию ⇒ ΔСЕМ - равнобедренный

∠ЕСМ = 180° - 65° - 65° = 50°

В ΔВЕС  ∠ЕВС = 90° - ∠ЕСВ = 90° - 50° = 40°

∠ВАС = ∠ВСА = (180° - 40°)/2 = 70°

авс треугольник

вд высота

авд=46°

свд=18°

авс=46-18=28°

из прямоугольного δсвд (всд+90+свд=180)

асв=180-всд=180-(180-90-свд)=180-(180-90-18)= 72° 

вас=180-72-28=80°

можно решить с теоремы, а можно и так. зная, что касательна всегда перпендикулярна радиусу и по условию угол сва равен 32 градуса, имеем, что угол аво равен 90-32=58 градусов. так как треугольник аво равнобедренный (ов=оа - радиусы), то угол вао тоже равен 58 градусов. если сума углов треугольника 180 градусов, то угол воа, который мы ищем, равен 180-(58+58)=64 градуса