4. Радиус цилиндра 12 см, диагональ осевого сечения 30 см.
Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь осевого сечения;
в) площадь боковой поверхности; г) площадь полной
поверхности цилиндра.
5. Образующая конуса равна 22 см и наклонена к плоскости
основания под углом 60о
. Найдите: а) площадь основания
конуса; б) площадь боковой поверхности конуса.

Объяснение:

Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник. Диагональ осевого сечения - это диагональ прямоугольника, которая образует со сторонами прямоугольника два прямоугольных треугольника. По сути, диагональ - это гипотенуза, а радиус цилиндра - это один из катетов. Согласно теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Значит:

Диаметр равен двойному радиусу, т.е d=2*r=2*12=24см

пишу 30*30, но это 30 в квадрате

h - это высота

30*30 = 24*24+h*h

отсюда высота равна корню из разности квадратов гипотенузы и катетов или корню из квадратов разности диагонали осевого сечения и диаметра

h = корень из 30*3-24*24 = корень из 324 = 18см (высота цилиндра

Площадь осевого сечения, это площадь прямоугольника со сторонами равными высоте и диаметру цилиндра

Sо=d*h = 24*18= 432кв. см.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности основания

Sб = 2*π*r*h=2*3.14*r*h

Sб = 2 * 3,14 * 12 * 18 = 1356,48 кв. см

Площадь полной поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Sп = 2*3,14*12 * (12+18) = 2260,8 кв.см

2 Конус

Образующая конуса, это по сути гипотенуза в прямоугольном треугольнике, вершина которого находится в центре окружности основания и в вершине конуса.

Найдем радиус, он будет одним из катетов прямоугольного треугольника, образованного высотой, касательной и радиусом конуса..  

Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус 60 градусов равен 1/2

r - радиус

Тогда r : 22 = 1/2

r = 22*1/2=11см

Площадь S= π* r^2= πi *11*11= π * 121 = 3,14*121 = 379,94 кв.см

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образующей конуса. где r - радиус окружности основания, l - длина образующей конуса.

S = π*r*l= 3.14 * 11 * 22 = 759.88 кв. см

решение: пусть о – центр окружности, пусть р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка ао. пусть n – точка пересечения

тогда прямоугольные треугольники oac и оab равны за катетом и гипотенузой(оf=оa, оc=оb – как радиусы).значит из равности треугольников,ac=ab

угол аoc=угол aob(то же самое угол рoc=угол рob)

угол  oac=угол oab(то же самое угол  oрc=угол oрb ), значит аp – биссектриса угла а,(то же самое, что an - биссектриса угла а )

ac=ab – значит треугольник abc – равнобедренный

биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой

треугольник abc – равнобедренный, an - биссектриса угла а, значит

угол anb= угол anc=90 градусов

треугольник bop – равнобедренный (bo=op – как радиусы),

значит угол pbo= угол bpo

пусть угол boa= угол bop= угол bon=х.

сумма углов треугольника равна 180.

сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

тогда с треугольника bop

  угол pbo= угол bpo=(180 -х)\2=90-х\2

с треугольника aob угол oab=90-х

угол abp= угол oab- угол pbo=90-х-(90-х\2)=x\2

угол pbn=90-угол oab- угол abp=90-(90-x)-x\2=x\2

угол abp= угол pbn, значит bp – биссектриса угла b.

итак, точка p- точка пересечения биссектрис треугольника abc, что и требовалось доказать.