Даны две параллельные плоскости альфа и бета. множество треугольников таких, что одна сторона каждого треугольника лежит в плоскости альфа, а середина другого- в плоскости бета. какую фигуру образует множество
вершин этих треугольников, не принадлежащих плоскости альфа?

слова "середина другого-" смущают. пусть вторая плоскость содержит середины боковых сторон (а первая - основания, целиком). тогда третья вершина треугольника будет принадлежать третьей плоскости, отстоящей от второй на то же расстояние, что и первая, но - с другой стороны. всегда можно провести секущую плоскость, чтобы треугольник лежал в ней. легко показать и равенство расстояний, поскольку плоскость бета всегда проходит через среднюю линюю.

дальше надо сформулировать утверждение о единственности плоскости, это утверждение очевидно, но требует точности. скажем, если в 3 случаях у нас вершины попали в эту плоскость, то и все туда попадут, и никуда больше.

это можно и так сформулировать - если взять 2 плоскости, и соединить 2 любые точки, то плоскость, параллельная этим и равноотстоящая от них, разделит этот отрезок пополам.  

вообще все эти "авторские" преследуют методические цели - надо, чтобы ученик владел простейшими понятиями. скажем, если есть 2 плоскости, проходящие через три точки, то они и так далее, неприятность тут в том, что надо именно владеть понятиями, как разговорным языком.

пусть abc - прямоугольный треугольник, угол acb -прямой,ce-медиана, сd- биссектриса

так как cd биссектрисса, то угол acd = углу dcb=45°

медиана проведённая к гипотенузе  прямоугольного треугольника,равна ее половине, то есть ae=eb=ce=c/2

треугольник aec - равнобедренный, угол ace=45°-y

из вершины e треугольника на ac опустим высоту ek, тогда

cos(kce)=kc/ce => kc=ce*cos(kce)=(c/2)*cos(45°-y)

ak=kc=ac/2   => ac=2*(c/2)*cos(45°)=c*cos(45°-y)=

=c*[cos(45°)*cos(y)+sin(45°)*sin(y)]=

=c*(1/sqrt(2))*cos(y)+sin(y)]=(c/sqrt(2))*[cos(y)+sin(y)]

рассмотрим треугольник (равнобедренный) ceb

угол ecb=45°+y

из вершины е на сторону cb опустим высоту

cos(ecm)=cm/ce => cm=ce*cos(ecm)=(c/2)*cos(45°+y)

cm=mb=cb/2 => cb=2*(c/2)*cos(45°+y)=c*cos(45°+y)=

=c*[cos(45°)*cos(y)-sin(45°)*sin(y))=

=c*(1/sqrt(2)*[cos(y)-sin(y)]

далее находим площадь

s=ac*cb/2=(1/2)*(c/sqrt(2))*[cos(y)+sin(y)]*(1/sqrt(2)*[cos(y)-sin(y)]=

=(c^2/4)*(cos(y)+sin(y)*(cos(y)-sin(y))=(c^2/4)*[sin^2(x)-cos^2(x)]

=

s пов.куба = 6a^2.

s сферы = 4пr^2.

по условию s пов.куба = s сферы;

6a^2 = 4пr^2;

a^2 = (4пr^2)/6;

a = корень из [(4пr^2)/6];

найдем отношение v куба / v шара;

a^3 / (4/3*пr^3) =

[(4пr^2)/6] * [корень из [(4пr^2)/6]] * 3/4 * 1/пr^3 =

корень из [(4пr^2)/6] * 1/2 * 1/r =

корень из [(4пr^2)/(6*4*r^2)] =

корень  из п/6.