Нарисуйте многогранник, получающийся при пересечении двух правильных треугольных пирамид, расположенных симметрично друг другу относительно середины высоты пирамиды. Докажите, что он является параллелепипедом

дано ам=мв, см=мd,аd,=3,4см

1)расмитрим треугольник амд и вмс у них ам=мв,см=мд,угл смд=углу амд(как вертикальные)значит треугольники равны по 1 признаку.

2)у равных треугольников соотвеиственые углы равны,поэтому ад=вс=3,4см вс=3,4 см.

продолжим ав и се до пересечения в точке к.

тогда ав = вк  по теореме фалеса (ам = мс, вм||ск).

вкеd - параллелограмм, так как его стороны попарно параллельны.

значит dе = вк  и  следовательно dе = ав.

авеd - тоже параллелограмм, по признаку параллелограмма: ав = dе, ав||dе.

значит  аd = ве  ч.т.д.

радиус вписанной в прямоугольной треугольник окружности равен r=(a+b-c)\2

радиус  описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен r=c\2

где a, b-катеты, c - гипотенуза

отсюда с=2*5=10

a+b=2*2+10=14

по теореме пифагора a^2+b^2=c^2

a^2+b^2=10^2=100

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100

14^2-2ab=100

2ab=196-100=96

ab=96: 2=48

a+b=14

ab=48

(6+8=14; 6*8=48)

по теореме обратной к теореме виета

a=6 b=8 или a=8, b=6

ответ: длины катетов 6 и 8

ас и вд - диаметры окружности с центром о, значит aо=bo=co=do - как радиусы,

диагонали четырехугольника авсд пересекаютсчя в точке о, и делятся в ней пополам, следовательно данный четырехугольник - параллелограм(по признаку параллелограмма)