1.Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.
С рисунком

r=1/2*a/sin< a    p=a+a+a=3a  a=18/3=6 < a=60  sin 60 = кв.кор из3  /2

r=1/2*6/кв.кор из3  /2= 6/кв.кор из 3

b- сторона квадрата

r= b/2

b = 6/кв.кор из 3 /2 = 3/кв.кор из 3

по условию, хорда делит диаметр в отношении 1: 9, следовательно

диаметр d=x+9x=10x.

диаметр d=2r, где r-радиус окружности (r=d: 2=10x: 2=5x  или х=r/5).

хорда, перпендикулярная диаметру точкой пересечения с диаметром делится пополам, т.е. 30: 2=15 см.

рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна r, один катет равен 15 см, а второй равен r-x=5x-x=4x.

по теореме пифагора: r^2 = (4x)^2+15^2

                                                                    r^2=16x^2+225

                                                                    r^2-16*(r/5)^2=225

                                                                    r^2-16r^2/25 =225

                                                                    9r^2/25=225

                                                                    r^2=225*25/9

                                                                    r=sqrt{225*25/9}

                                                                    r=25

диаметр d=2r=2*25=50 (см)

если бы вершина параболы лежала в начале координат, то каноническое уравнение параболы:

x^2 = 2py.

уравнение директрисы у = -p/2 = 5, отсюда р = -10 и:

x^2 = -20y.

но в нашем случае вершина параболы смещена по оси х влево на (-1) и по оси у на величину b, которую и найдем:

(x+1)^2 = - 20(y + b). 

подставим сюда координаты заданной точки:

36 = -20(b-1),     -20b = 16,   b = - 4/5.

теперь каноническое уравнение параболы примет вид:

(x+1)^2 = - 20(у - 0,8)

a)направим ось х по стороне ad ,   ось у - по стороне ав.

тогда координаты вершин: а(0; 0), в(0; 3), с(4; 3), d(4; 0).

при отображении относительно ас, точки а и с останутся на месте, а точки в и d отобразятся в точки b' и d'.фигура и ее площадь при осевой симметрии не изменились, изменилась только ориентация прямоугольника.пусть к - точка пересечения ad' и bc, м - точка пересечения ad и cb'.

тогда искомая площадь пересечения областей abcd и ab'cd' - параллелограмм akcm.

s(akcm) = 3*4 - 2s(ckd').

найдем координаты точки d'.

уравнение прямой ас:   у = 3х/4

тогда уравнение прямой dd' (перпендикулярной к ас) имеет вид:

у = -4х/3   + b. эта прямая проходит через точку d(4; 0). найдем b:

0 = -16/3   +b     b = 16/3     у = -4х/3 + 16/3

ищем пересечение прямых ас и dd':

3х/4 = -4х/3 + 16/3   х = 64/25, у = 48/25

эта точка - середина отрезка dd'.

64/25 = (х+4)/2,     48/25 = (0+у)/2

х = 28/25; у = 96/25     d' (28/25; 96/25)

найдем уравнение прямой ad':

96/25 = 28к/25     к = 96/28 = 24/7     ad': у = 24х/7

найдем координаты т. к - пересечения у=3   и   у = 24х/7

х = 7/8, у = 3

тогда длина отрезка кс = 4 - 7/8 = 25/8 - основание тр-ка kd'c.

высота этого тр-ка: h = (96/25) - 3 = 21/25

искомая площадь:

s = 12 - 2*(kc*h/2) = 12 - 21/8 = 75/8

ответ: 75/8 см^2.

б)при параллельном переносе на вектор са (-4; -3) точка d (4; 0) перейдет в точку d" (0; -3). из п.а) координаты d'-   (28/25; 96/25)

тогда расстояние d'd" = кор( (28/25)^2 + (3 + 96/25)^2) = (кор1201) /5 (примерно 6,93 см)

ответ: (кор1201)/5 (примерно 6,93 см).