Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей. Сечения.

1. Точки A, B и С – середины рёбер MK, MN и PK тетраэдра MPNK соответственно.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскость, проходящей через эти точки. (Подробно описать ход построения и обосновать в соответствии с правилами).
б) Найдите периметр построенного сечения, если PM = 8 см, KN = 6 см.

2. Прямые a и b скрещивающиеся, точка А не лежит на этих прямых. Через точку А проведите плоскость, параллельную прямым a и b. (Обосновать построение)

3. Даны две пересекающиеся в точке О прямые. Всякая ли третья прямая, имеющая с каждой из двух прямых общую точку, отличную от точки О, лежит с ними в одной плоскости? ответ обоснуйте.

4. Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью  в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1 и М1.
а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.
б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, АМ = 6.

abcd- равнобедрренная трапеция, bc и ad - основания трапеции, bd=10м - диагональ, вк - высота, угол bdk=60 градусов. рассм треугольник bkd - прямоугольн.т.к. bk перпендикулярно ad. sinbdk=bk/bd, bk=sin60*bd=(корень из 3)/2*10=5 корней из 3. по т. пифагора bd^2=bk^+kd^2, kd^2=bd^-bk^, kd^=100-75=25. kd=5. по свойствам равнобедренной трапеции (высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.) kd=(bc+ad)/2=5. тогда s=(bc+ad)/2*bk=5*5корней из 3=25 корней из3.

по определению

sin a=bc\ab

cos b=bc\ab

поєтому

sin a=cos b=5\10=1\2

это табличные значения, значит

a=30 градусов

b=60 градусов

с прямоугольных треугольников(сумма острых углов прямоугольного

треугольника равна 90 градусов)

угол hca=90-угол a=90 градусов-30 градусов=60 градусов

угол hcb=90-угол b=90 градусов-30 градусов=30 градусов

ответ: 60 градусов,30 градусов

з.і.вроде так

х - один угол

2х - другой угол

х+2х=90

х=30, 2х=60.

значит, углы треугольника 30 и 60 град.

следовательно, катет, лежащий против угла в 30 град равен половине гипотенузы, т.е.6: 2=3 (см)

  по теореме пифагора: 6^2-3^2=36-9=25=5^2/

значит, второй катет 5 см.

пусть имеем равнобедренный треугольник abc (ab=bc). точка о -точка пересечение высок ck, am и bp. по условию угол boc= углу boa=110°, тогда угол aoc=360°- (угол boc + угол boa) = 360°-(110°+110°)=140°

угол oac=углу   oca

угол oac+ угол   oca =180° -140° = 40°

угол oac=углу   oca=40°/2=20°

из треугольника akc: угол кас=90°-20°=70°

то есть угол bac=углу bca=70°

угол abc= 180° -(70°+70°)=40°

углы треугольника равны 70°, 70° и 40°