Диагонали прямоугльной трапеции ABCD взаимно перпендикулярны Короткая боковая сторона AB равна 6 см длинное основнание AD равно 8 см

проведем дополнительно высоту ск. так как трапеция рвнобедренная, очевидно, что отрезок dk = (а-х)/2, где х - искомое основание вс.

из тр-ка скd: cd = dk/cosd = (a-x)/(2cosd).

с другой стороны из пр.тр-ка acd:   cd = a*cosd.

приравняв, получим: cos^2 (d) = (a-x)/2a                                                  (1)

но по условию:

ab^2 + x^2 = (11/16)a^2, а ав^2 = cd^2 = a^2 *cos^2(d) = a(a-x)/2

подставив получим уравнение:

a(a-x)/2  +  x^2 = (11/16)a^2                                                                                      (2)

домножим на 16 и к квадратному уравнению:

16x^2  - 8ax - 3a^2 = 0          d = 64a^2 + 192 = 64(a^2  +3)

x = (8a + 8кор(a^2 +3))/32      (другой корень - отрицателен)

x = (a + кор(a^2 +3))/4

сначала найдем координаты точки а1, середины стороны вс. они равны полусуммам координат точек в и с, то есть

а1 = ( (-1 + 6)/2 ; (4 + (-2))/2 ) = ( 2,5 ; 1 )

тогда  аа1 = ( 2,5 - 5 ; 1 - 1 ) = ( -2,5 ; 0 ) 

проекции двух известных сторон на третью сторону соответственно равны

√ (26² - 24²) = √ 100 = 10 см.     и     √ (30² - 24²) = √ 324 = 18 см. 

итак, третья сторона треугольника равна  10 + 18 = 28 см

тогда медиана треугольника, проведенная к третьей стороне, равна

√ (2 * 26² + 2 * 30² - 28²) / 2 = √ (1352 + 1800 - 784) / 2 = √ 2368 / 2 = √ 592 ≈ 24,3 см.

вспомним одну теорему: противоположные стороны паралеллограмма паралельны и равны.

а по условию говорится что отношение сторон 2 : 5 (подразумевается соседние стороны), тогда обозначим значение отношения за х. в данном случае, одно из сторон будет 2х, а другой 5х. а если так, то противооложные этих сторон по теореме будет равны. тогда составим уравнеие и решим:

2 * 2х + 2 * 5х = 35

4х + 10х = 35

14х = 35

х = 2,5 значение отношения

2 * 2,5 = 5 см. одно из сторон

5 * 2,5 = 12,5 см. другая сторона.

проверим:

5 * 2 + 12,5 * 2 = 35 см периметр.

ответ: 5 см, 12,5 см.