Точки o(0; 0), a(8; 6), b(3; 4) и d(5; 2) являются вершинами четырёхугольника. найдите абсциссу точки p пересечения его диагоналей (см.

полуим трапецию в котороой основания равны 3 и 7 см соответственно

расстояние от середины отрезка ав до плоскости - средняя линия трапеции и равна 1/2(3+7)=5 см

пусть  угол авd=х+34

                            cbd=х

развернутий угол  abc=180 градусов

х+34+х=180

2х=180-34

2х=146

х=146/2

x=73

если угол сbd=73, а abd=х+34=73+34=107

ответ: 107; 73

найдем скалярное произведение: a"b" = ab*cos5п/6 = (-abкор3)/2              (1)

теперь составим систему уравнений для нахождения a и b (модулей), скалярно умножив сами на себя вектора, в условии:

(a"+b"кор3)(a"+b"кор3) = a^2 + 2a"b"кор3 + 3b^2

(2a" - b"кор3)(2a" - bкор3) = 4a^2 - 4a"b"кор3 + 3b^2                                                          (2)

подставим (1) в (2) и получим систему чисто для модулей векторов a" и b":

a^2 - 3ab + 3b^2 = 1

4a^2 + 6ab + 3b^2 = 31

попробуем :

вычтем из второго - первое и получим:   a(a+3b) = 10                                                        (3)

теперь домножим первое на 31 и вычтем второе:

27a^2 - 99ab + 90b^2 = 0

3a^2 - 11ab + 10b^2 = 0      однородное уравнение.

делим на b^2 и обозначим a/b = t:

3t^2 - 11t + 10 = 0        d = 1    t1 = 2,    t2 = 5/3

1.  a/b = 2      и добавим (3)

        a^2 + 3ab = 10

a = 2b                                                        a = 2

4b^2 + 6b^2 = 10                        b = 1

вектора 3a" и 2b" образуют треугольник с тем же углом 5п/6 между ними. разность векторов это вектор соединяющий концы этих векторов - то есть третья сторона треугольника. найдем ее по теореме косинусов:

|3b-2a| = кор{9b^2 + 4a^2 +2*3b*2a*(кор3)/2} = кор{9 + 16 + 12кор3}=

кор(25+12кор3).

2. a/b = 5/3

      a^2 + 3ab = 10

a=5b/3                                                                                                              a = 5/(кор7)

25b^2 /9 +5b^2 = 10          5b^2 /9  + b^2 = 2    b = 3/(кор7)

|3b-2a| = кор{81/7  +  100/7  + 2*(9*10/7)*(кор3)/2}=

= [кор(181 + 90кор3)] / кор7

ответ: кор(25+12кор3) ;   [кор(181 + 90кор3)] / кор7

маємо прямий кут с, який дорівнює 90°.

за теоремою про суму кутів трикутника знаходимо кут а:

< а=180°-(90°+22°) = 68°

за теоремою синусів знаходимо катет b:

а/sin a = b/sin b

b=a·sin b / sin a ≈ 6·0,3746/0,9272 ≈ 2,4 (см)

за теоремою піфагора знаходимо гіпотенузу с:

а²+b²=c²

c²=36+5,76=41,76

c=6,46 cм

відповідь. < а=68°, b=2,4 см, с=6,46 см.