Доказать тождество: (ab)[cd]+(ac)[db]+(ad)[bc]= a(bcd).

вычислим площадь треугольника авспо формуле герона его периметр 21 а полупериметр 21\2 . тогда площадь будет 21корней из 15 делить на 4 . биссектриса ам делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам см\мв= ас\ав= 3\4. значит в треугольнике авс 7 частей. разделим его площадь на 7 и получим   получим 3\4 корней из 15. в треугольнике амв 4 части значит его площадь 3\4 корней из 15 умножим на 4 и получим 3 корня из 15.

вторая часть не написана.

місцем точок, рівновіддалених від усіх вершин трикутника авс, є точка о- центр кола, описаного навколо трикутника.

точка м проектируется в центр пересечения диагоналей о.

длина проекции мс=1/2 диагонали квадрата

диагональ=8корней с 2

а)проекция =4корней с 2

б)по теореме про 3 перпендикуляра мо=кор.кв. с 256-32=кор.кв. с 224

решение: пусть аbcd – данный ромб, угол а=угол с=l.

площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами

s=ab^2 *sin a

s=a^2* sin l

полупериметр робма равен полусумме сторон ромба

p=4*a\2=2*a

площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

s=p*r

откуда

r=s\p= a^2* sin l \ (2*a)=a\2* sin l

пусть   x, y – точки касания вписанной в ромб   окружности со сторонами ab и ad соответсвенно , пусть h – точка пересечения, прямой fg, перпендикулярной к   диагонали ас, вторая окружность касается сторон   ab и ad   и соприкасается с первой окружностью в точке h, значит вторая окружность – окружность вписанная в треугольник afg.

угол b=угол d=180 – угол а=180-l

диагональ ас ромба равна по теореме косинусов

ac^2=ab^2+bc^2-2*ab*bc*cos b=

=a^2+a^2-2*a*a*cos (180-l)=2*a^2* (1+cos l)

ac=корень(2*a^2* (1+cos l))=2*а*|cos l\2|=2*a*cos (l\2)

(воспользовались формулой понижения квадрата косинуса)

пусть о – центр вписанной в ромб окружности

диагонали ромба пересекаються и в точке пересечения делятся пополам, причем точка пересечения является центром вписанной в ромб окружности(свойство ромба)

значит ао=1\2*ас=1\2*2*a*cos (l\2)= a*cos (l\2)

далее ah=ao-oh= a*cos (l\2) -a\2* sin l=a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))

af=ah\cos (a\2)= a*cos (l\2)*(1-sin(l\2)) \cos (l\2)=

= a*(1-sin(l\2))

fh=ah*tg (a\2)= a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))*tg (l\2)= a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))

fg=2*fh=2* a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))

треугольники afh и agh равны как прямоугольные за катетом и острым углом(угол fah=угол gah – диагональ ромба есть его биссектриссой – свойство ромба, ah=ah,

прямая fg касательная к первой окружности, значит перпендикулярная к ас, отсюда углы fha и gha   прямые).

из равенства треугольников получаем af=ag

площадь треугольника равна произведению половины основания на висоту

площадь треугольника afh :

s (afg)=fh*ah= a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))* a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))=

1\2*a^2   *sin l *(1-sin(l\2))*^2

полупериметр треугольника равен

p (afg)= (af+fg+ag)\2=( a*(1-sin(l\2))+ a*(1-sin(l\2))+ 2* a*sin (l\2)*(1-sin(=

a*(1-sin(l\2))+ a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))= a*(1-sin(l\2))*(1+sin(l\2))=

a*(1-sin^2 (l\2))=a*cos^2 (l\2)

радиус вписанной окружности в треугольник равен площадь\полуперимтер,

радиус равен   1\2*a^2   *sin l *(1-sin(l\2))*^2 \( a*cos^2 (l\2))=

=a*tg (l\2)*(1-sin(l\2))^2

ответ:   a*tg (l\2)*(1-sin(l\2))^2