Вкруге провели три хорды ab, bc, cd и отметили их середины m, n, k. докажите, что ∠bmn = ∠nkc или ∠bmn + ∠nkc = 180◦ .

по теореме пифагора:   см

найдем синус угла b: sinb=ac/ab=5/10=1/2

значит, в=30 градусов

пусть точка d лежит на отрезке ав, точка е на отрезке ас, а точка f на отрезке вс.

пусть ad = ae = x ,  bd = bf = y , ce = cf = z (касательные, проведенные из одной точки, имеют одинаковую длину). тогда получаем систему уравнений

x + y = c

x + z = b

y + z = a

сложив эти уравнения, получаем  x + y + z = (a + b + c)/2

вычитая из этого соотношения исходные уравнения, получаем

x = (b + c - a)/2

y = (a - b + c)/2

z = (a + b - c)/2

пусть даны точки а и в. возьмем третьею точку с отличную от а и в. 

через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

проведем плоскость авс

какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

возьмем точку d не принадлежщаю плоскости авс (таковая существует за аксиомой выше)

проведем плоскость авd.

єти плоскости разные так как точка d не принадлежит плоскости авс.

и данные точки а и в принадлежат одновременно и плоскости авс и abd.

таким образом существование искомых плоскостей доказано

x=y-6

2x+2y=60

2(y-6)+2y=60

2y-12+2y=60

4y=72

y=18

x=18-6=12