Решить. в трапеции mnpk ( mk np ) продолжения боковых сторон mn и kp пересекаются в точке т. а) докажите, что треугольники ntp и mtk подобны. б) найдите площадь треугольника tmk, если известно, что tn : nm = 5 : 3, а площадь треугольника ntp равна 75.

векторы ca и db равны, они имеют одинаковую длину(модуль) и направление.

векторы ab и dc не равны, так как они противоположнонаправленные

пусть дан треугольник abc, ac=3, a=30°

bm - высота на ac

так как треугольник равнобедренный, то am=mc=3/2=1,5

из треугольника abm

    cos(30°)=am/ab

      ab=am/cos(30°) = > ab=1,5: (sqrt(3)/2)) => ab=3/sqrt(3)

p=ab+bc+ac=3+3/sqrt(3)+3/sqrt(3)=3(sqrt(3)+2)/sqrt(3)=sqrt(3)*(sqrt(3)+2)=3+2*sqrt(3)

Mo=on(т.к. радиусы)доказываем равенство треугольников по свойству касательных из одной точки,тогда угол kon=mok и они по 60 градусов. 120/2=60 градусов.есть два прямоугольных треугольника. радиусы on и om находятся по свойство угла в 30 градусов, т.е.2on=ok2on=12 /2(делили обе части)on=6  затем находим всё по теореме пифагора.kn+on=ok(все величины в квадрате)kn2+36=144kn2=144-36=108 градусов.корень из kn=корень из 108 радусов и это 6 корней из 3.kn=km(по свойству отрезков касательных)ответ: kn=km=6 корней из 3. отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности и точку, из которой проведены касательные, поэтому мк=кn, угол окn=углу окм, угол омк=углу оnк=90 градусов по свойству касательных, тогда угол кот= углу ком=120: 2=60 градусов. по соотношениям в прямоугольном треугольнике км=ок*sin60=12*√3/2=6√3

доказательство: пусть abc данный треугольник, ав- его гипотенуза

an, bm,cl – его медианы

с прямоугольных треугольников anc,bmc,abc   по теореме пифагора:

an^=ac^2+(bc\2)^2=ac^2+1\4 *bc^2

bm^2=bc^2+(ac\2)^2=bc^2+1\4* ac^2

ac^2+bc^2=ab^2

cl=1\2ab(медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине)

cl^2=1\4ab^2 ,

an^2+bm^2+cl^2= ac^2+1\4 *bc^2+ bc^2+1\4* ac^2 +1\4ab^2=

5\4*(ac^2+bc^2)+1\4*ab^2=5\4*ab^2+1\4*ab^2=6\4*ab^2=1.5*ab^2

an^2+bm^2+cl^2=1.5*ab^2

доказано