1.найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенного к гипотенузе, если биссектриса острого угла делит катет на отрезки, равные 2 и 4. 2. найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше боковой стороны, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3√11. 3. площадь треугольника mpk равно 21. известно, что сторона mp равна 7, медиана pa равна 3√2, а в треугольнике apm сторона am- наименьшая. найдите сторону mk.

1. элементарно, поскольку отношение неизвестного катета к гипотенузе рано 1/2, то есть углы 30 и 60 градусов (именно из вершины угла 60 градусов выходит биссектриса). известный катет 6, поэтому остальные стороны 2*√3 и 4*√3.

2. пусть основание 2*х, боковые стороны 6*х. 

тогда косинус угла при основании равен х/(6*х) = 1/6;

по теореме косинусов из тр-ка, образованного медианой, половиной боковой стороны и основанием

(3*√11)^2 = (3*x)^2 + (2*x)^2 - 2*(2*x)*(3*x)*(1/6) = 11*x^2;

x = 3; основание 6;

3. плохое условие. 

в треугольнике амр известна площадь 21/2 и стороны ра = 3*√2 и ам = 7;

поэтому синус угла мра (обозначим его ф) определен однозначно.

7*(3*√2)*sin(ф) = 21/2; sin(ф) =  √2/2;  

в условии сказано, что ам- наименьшая из сторон, то есть угол ф не может быть тупым, поэтому он равен 45 градусов, и его косинус положителен

cos(ф) =  √2/2;

но в этом случае получается

ам^2 = 7^2 + (3*√2)^2 - 2*7*(3*√2)*(√2/2) = 25; ам = 5, но это больше чем ар! то есть ам - не наименьшая сторона. условие не верное.

но если заменить его на требование, что угол ф острый, получается ам = 5, мк = 10.

может, я где ошибся, проверьте.

по теор .пифагора сторона основания = корень квадр.из (225-81)=12,s(бок)=3х12х9=324,s(осн)=144*корень кв. из 3/4? cкладываем: 324+72корень из 3.

ам=мд, мд=вс   =>   ам=вс   =>   авсм - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

значит   угол амс = углув = 100 град.

угол всм = 180-100 = 80 град