Докажите что функция f(x)=x^2-10x возрастает на промежутке [5; +бесконечности) (без подстановки! )

f(x) = x² - 10x = x² - 10x + 25 - 25 = (x - 5)² - 25

пусть   х1 ∈ [5; +∞),   x2 ∈ [5; +∞) и        х1 < х2,  тогда

х1 - 5 < х2 - 5,

(х1 - 5)²  > (х2 - 5)²,

(х1 - 5)² - 25 > (х2 - 5)² - 25.

получилось что ф-ция убывает на прмежутке [5; +∞).

может быть вы пропустили где небуть минус?

что то не получается, пересмотри.

график этой функции парабола ветви которой направленны вверх, так как коэффициент при х квадрат больше нуля, найдя вершину параболы по формуле минус б деленное на 2а, где б равно 10, а =1, получим координату х вершины равную 5, отсюда и вывод 

по формуле производной произведения:

y'=x'·e× + x·(e×)' = e× + x e× = e×(1+x)

y'(1)=e¹(1+1)=2e

ответ. 2е