Решите тригонометрическое уравнение :

sin^5x+cos^5x=1

x={π/2+2kπ, kπ}, k∈Z

Объяснение:

-1≤sinx≤1⇒sin⁵x≤sin²x

-1≤cosx≤1⇒cos⁵x≤cos²x

1=sin⁵x+cos⁵x≤sin²x+cos²=1

sin⁵x+cos⁵x=1⇔sin²x=sin⁵x, cos²x=cos⁵x

sin²x=sin⁵x

sin²x(1-sin³x)=0

1) sin²x=0

sinx=0

x=kπ⇒cosx=1

2) 1-sin³x=0

sinx=1

x=π/2+2kπ⇒cosx=0

пусть x - меньшее число, тогда

x^2+65=(x+1)(x+2)

x^2+65=x^2+3x+2

3x=63

x=21

то есть числа равны: 21,   22,   23

2cos(3п/2+2x)=2sin2x=4sinx*cosx

3соs^2x=4sinx*cosx-sin^2x

разделим на сos^2x

3=4tgx-tg^2x

tgx=a

a^2-4a+3=0

d=16-12=4

a=(4+2)/2=3

a=(4-2)/2=1

tgx=3 x=arctg(3)+πn, n∈z.

tgx=1 x=π/4+πn, n∈z.