Прошу найдите площадь поверхности многогранника вершинами которого служат центры граней тетраэдра с ребрами 6 см

смотрите, как лучше рассуждать, чтобы была понятной. граней у тетраэдра четыре, поэтому у нас будет фигура с четыремя вершинами. далее, все грани одинаковы, поэтому и получившаяся фигура имеет все равные ребра (и грани, конечно). поэтому это - тоже тетраэдр. 

дальше, центры боковых граней лежат в плоскости, параллельной основанию, которая проходит на высоте 1/3 от высоты пирамиды. это следует из известного свойства точки пересечения медиан. эта плоскость должна делить все апофемы в   пропорции 2/1, считая от вершины. 

стороны такого сечения равны 2/3 от длины рабра. а основание искомой фигуры получится, если в этом сечении соединить середины сторон. то есть это будет правильный треугольник со стороной 1/3 от ребра. 

таким образом, нам надо найти площадь поверхности тетраэдра с ребром 2 (то есть площадь четырех правильных треугольников со стороной 2). 

4*2*2*sin(60)/2 = 4*корень(3). 

вроде так, проверьте :

площадь треугольника находим по формуле герона:

s = sqrt( p (p-a) (p-b) (p-c) ),

где sqrt - корень квадратный, р - полупериметр, который высчитывается по ф-ле: p = (a+b+c)/2,        a,b,c - стороны треугольника. т.е.

р = (10+10+16)/2 = 18

s = sqrt 18 (18-10)(18-10)(18-16)

s = sqrt2304

s = 48

вроде так))

итак, нам надо найти площадь аа1с1с. это прямоугольник, в котором уже известна длина стороны сс1=5 см.

найдём ас.

авсд-квадрат, т.к. по условию призма правильная.

ас-диагональ квадрата. её можно найти по теореме пифагора

ас= корень из (4^2+4^2)=корень из 32=4корня из 2.

итак, площадь аа1с1с равна ас*сс1 = 4 корня из2 * 5 = 20корней из 2.