Вариант 3 1. Докажите равенство треугольников АBM и CDM (рис. 46), если АМ = СМ и <BAM = ZDCM.

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 49 см, а основание на 7 см больше боковой стороны.

3. На боковых сторонах АB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки Мик так, что ВМ = ВК. Докажите, что <ВАК = ZBCM.

4. Известно, что СК = DК и <СКР = <DКР

(рис. 47). Докажите, что <МСP = <MDP.

5. CepeДИHHBй перпендикуляр стороны АС треугольника АВС пересекает его сторону ВС в точке D. Найдите периметр треугольника ABD, если AB = 10 см, ВС = 15 CM.

любые две сходственные стороны тоже относятся как 2: 3, а площади подобных фигур относятся как квадраты этих сторон 4: 9- получается всего 4+9=13 долей. 260: 13=20 кв. см. на одну долю. s1=20*4=80, s2=20*9=180/

авс - равнобедр. тр-ик. ав = вс.  ак - биссектриса ула а. пусть угол а = а.

значит по условию угол акс = а. данный угол - внешний для тр-ка авк.

и по св-ву внешнего угла:

а = а/2  + угол авс    (т.к. угол вак = а/2)

значит угол авс - а/2. другие углы - углы при основании - равны а.

тогда имеем: 2а +  а/2 = 180,    5а/2 = 180,  а = 72, а/2 = 36.

ответ: 36;   72;   72 град.

если площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 144 см², то площадь боковой  грани равна  144 / 3 = 48 см².

если сторона основания равна х, то апофема равна √(100 - (х/2)²), а площадь боковой грани    х * √ (100 - х²/4) / 2 = x * √ (400 - х²) / 4 = 48

получаем уравнение

x * √ (400 - х²) = 192

х² * (400 - х²) = 36864

х⁴ - 400 * х² + 36864 = 0

решив это уравнение. как биквадратное, получаем  х₁ = 12 см  х₂ = 16 см.

в этом случае апофема    d₁ = 8 см     d₂ = 6 см.

авсд - трапеция, вс//ад, ав=сд,

о - точка пересечения диагоналей

док: во=ос, ао=од

треугольник авс = треугольнику дсв по трём сторонам (вс - общая, ав=вс по условию, ас=вд по свойству равнобедр.трапеции)

=> уголасв = углу двс

=> треугольник вос - равнобедренный, т.е. во=ос

ао=ас-ос, од=вд-во, => ао=од