Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное решение. Задача. На биссектрисе угла ABC выбраны точки M и N. Точки P и Q — проекции M и N на лучи BA и BC соответственно. Точка X — середина отрезка MN. Докажите, что PX=QX.

Решение. Пусть точка P′ симметрична точке P относительно прямой MN.

Из симметрии
∠MP′B=

∠BPX

∠BPN

90∘
,
поэтому четырёхугольник MP′QN является
Выбрать
. Опустим из точки X перпендикуляр на прямую BA, обозначим его основание через Y. Отрезок XY является средней линией трапеции MP′QN, поскольку точка X является серединой отрезка MN и
Выбрать
. Следовательно, точка Y является серединой отрезка P′Q и точка X лежит на серединном перпендикуляре к P′Q. Все точки на серединном перпендикуляре равноудалены от концов отрезка, поэтому XP′=XQ. Осталось ещё раз воспользоваться симметрией и заметить, что

MP=MP′

NP=NP′

XP=XP′
.

Это сириус