Вокруг равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 30√3, описана окружность. Найди её радиус.

во и ср перпендикуляры из вершин на ад

δаво подобен сдр

во=аоtgа=ср

ср=рдtgд=рд/tg(90-д)=рд/tgрсд=рд/tgа

аоtgа=рд/tgа

ао+сд=ад-вс, решаем систему

рд=ао(tg28°)²

ао+рд=4

ао*0,5317²=4-ао

ао=3,11

во=3,11*0,5317=1,67

ав=во/sin28=1.67/0.4695=3,56

сд=во/cos28=1,67/0,8746=1,91

авсд -основание

авсда1в1с1д1 -призма

ас1=а

< ас1д=30

а)  ас=а*sin30=a/2

        ад=ас/√2=а/(2√2) -сторона основания призмы

б)  90-30=60 -угол между диагональю призмы и плоскостью основания

в)  сс1=а*cos30=а√3/2

        sбок=cc1*pосн=сс1*4*ад=а√3/2(4*a/(2√2))=а²√(3/2) -площадь боковой поверхности призмы

г)  sасс₁а₁=сс1*ас=а√3/2*(a/2)=а²√3/4 -площадь сечения призмы плоскостью

средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна ее половине. 

значит, стороны нового треугольника равны:

6: 2=3 (м)

9: 2=4,5 (м)

13: 2=6,5 (м) 

найдем радиус окружности описанной около прямоугольника, он равен половине диаметра прямоугольника

d = √(5² + 9²) = √(25 + 81) = √106

r = √106/2

длина окружности l = 2πr

l = 2π √106/2 = π √106