. Точки F, E i K — середини сторін AB, BC i AC трикутни- ка АВС відповідно. Промінь KB бісектриса кута FKЕ.
Відомо, що кут АСВ дорівнює 80°. Знайдіть невідомі кути
трикутника ABC.​

авс равностороний

bko=obq( oq=ok, bo-общая q=k=90)

kob=obk=30 

следовательно bo=2ok

ob=4 

ad- бисиктриса, медиана, высота

abc-равносторонний след точка пересечения бис= точке пересеч серединных перпендекуляров.

r=ob=4 см 

v=a^2*h

a-сторона основания, h-высота призмы

10=2^2*h

h=10/4=2,5 см

sбок=р*h, где р - периметр основания

sбок=(2+2+2+2)*2,5=20 куб. см 

1. правильно сделать рисунок. к сожалению не проходят вложения.

из центров окружностей - первых двух и четвертой - образуется равнобедренный тр-ик о1о2о3 с основанием о1о2= 12 и боковой стороной:

о1о3=о2о3 = 6+х, где х - искомый радиус 4-ой окр-ти.

высота этого тр-ка о3а = 12-х и с другой стороны по теореме пифагора:

о3а^2 = (x+6)^2 - 36

итак получим уравнение:

(12-x)^2 = (x+6)^2 - 36

36x = 144    x = 4

ответ: 4 см.

2. ас = 6, ав = вс = 5.  аn,bd,cm - высоты

aо= cо = ad/cosa, где а = угол мса = уголnac = угол abd

cosa = bd/ав = (кор(25-9))/5 = 4/5

тогда: ао = со = 3/(4/5) = 15/4

od = ad*tga = 3*3/4 = 9/4

bo = bd - od = 4 - (9/4) = 7/4

ответ: 15/4;   15/4;   7/4.

3.центр впис. окр. - на пересечении биссектрис углов тр-ка авс.

r - радиус вписаной окр-ти.

из чертежа (надо правильно его выполнить, проведя радиусы в точки касания): отрезки до точек касания равны r/tg(a/2), r/tg(b/2), r/(tg(c/2).

тангенс половинного угла считается по формуле tg(a/2) = sina/(1+cosa).

  итак в нашей надо найти r и тригоном. ф-ии углов тр-ка.

r=?     s = pr    и    s = кор(p(p-a)(p-b)(p- p = (6+9+12)/2 = 27/2

s = (27кор15)/4      r = s/p =(кор15)/2

функции углов: cosb = (81+36-144)/(2*9*6) = - (1/4), sinb = (кор15)/4

по теореме синусов: 9/sinc = 12/sinb,  sinc = (3кор15)/16, cosc = 11/16.

аналогично: sina = (кор15)/8, cosa = 7/8.

считаем тангенсы:

tg(a/2) = (кор15)/15;   tg(b/2) = (кор15)/3;   tg(c/2) = (кор15)/9.

искомые отрезки равны: 15/2, 9/2, 3/2.

попарно по сторонам:

ответ: 15/2 и 9/2;   9/2 и 3/2;   15/2 и 3/2.

1) в правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне (центральный угол опирающийся на сторону равен 360/6 = 60 гр). высота правильного треугольника (она же радиус вписанной окр-ти):

h = rкор3 /2 = r = кор3

отсюда r = 2 = a.

s(a1a2a3) = (1/2) a1a2*a2a3*sin120 = (1/2)r^2 *(кор3)/2 = кор3

тогда s*кор3 = 3

ответ: 3.

2)  в треугольнике а1оа4 угол а1оа4 = 3*(360/8) = 3*45 = 135 гр.

s(a1oa4) = (1/2) r^2 *sin135 = r^2*кор2 /4 = 16кор2

отсюда   r^2 = 64,   r = 8

тр. а2оа4 - прямоугольный, так как угол а2оа4 = 2*(360/8) = 90 гр.

катеты равны r=8.

s(a2oa4) = r^2 /2 = 64/2 = 32.

ответ: 32.