Треугольник MNK задан координатами своих вершин:

M(3; 7;-4), N(5;-3;2), K(1;3;-10).
Определите вид треугольника MNK .

2. Вычислить угол между векторами : ā {2; -1 ; 3} и в̄ {1 ; 2 ; 3}.

1.

M(3; 7;-4), N(5;-3;2), K(1;3;-10).

MN=|/4+100+36 [все под корнем] =|/140,

МК =|/4+16+36=|/56,

NK=|/16+36+144=|/196.

Треугольник разносторонний. По теореме Пифагора NK^2=MN^2+MK^2, 196=140+56, 196=196.

Треугольник прямоугольный.

2.

а{2; -1 ; 3} и в̄ {1 ; 2 ; 3}.

сos(<a;b)=a×b/|a|×|b|,

a×b=2-2+9=9,

|a|=|/4+1+9=|/14,

|b|=|/1+4+9=|/14,

сos(<a;b)=9/ (|/14)^2=9/14,

<a;b=50°

т. к. mn и mk касательные, то углы n=k=90 градусов

рассмотрим треугольники onm и okm

в них уг.n=уг.k=90

om-общая=13см

no=ok=5см

следовательно по теореме пифагора nm= корень квадратный из разности om в квадрате и on в квадрате=12см

km находится аналогично =12см

рисунок отправил по почте.

я так понял, что в а) надо найти ad, а не ad'. про точку d' вообще в условии ничего не сказано.

ad = cd . хорды стягивают одинаковые дуги (в/2). тр. acd - равнобедренный. его площадь:

[ad^2*sin(п-b)]/2 = [ad^2*sinb]/2

площадь авс:

(5всsinb)/2

s(abcd) = (1/2)*sinb*(ad^2 + 5bc)

итак стратегия понятна:

помимо ad надо найти вс и sinb для полного решения.

попробуем решить треугольник авс:

найдем маленькие отрезки af и се:

af = (rc)/tg(baf/2) = (rc)/tg(п/2   - a/2) = (rc)*tg(a/2) = 11r*tg(a/2) /6

ce = 11rtg(c/2) /4

выразим и сторону b треуг. авс через r и углы а/2   и   с/2:

b = r(ctg(a/2) + ctg(c/2))

теперь из тр-ов aoae и cocf напишем систему двух уравнений:

(b + (ra)tg(c/2))tg(a/2) = (ra)

(b + (rc)tg(a/2))tg(c/2) = (rc)

где (ra) = 11r/4,   (rc) = 11r/6

после и деления одного ур-ия на другое, получим соотношение между углами:

tg(a/2) / tg(c/2) = 3/2

и в дальнейшем, выражая один тангенс через другой получим:

tg(a/2) = кор(3/22)

tg(c/2) = кор(2/33)

находим и другие нужные нам ф-ии:

sina = (2кор66)/25

sinc = (2кор66)/35

видим, что синусы относятся как 7: 5. значит сторона а = вс = 7

теперь можно найти и sin(b/2), sin(c/2), sinb

далее по т. синусов из тр. adb найдем ad:

ad= (5sin(b/2))/sinc = 5кор(35/11) = 8,9

а теперь и площадь abcd:

s(abcd) = (1/2)*(35 + 8,9^2)sinb = (1/2)*(35 + 79,2)*0,93 = 53

ответ:   а) ad = 8,9.

            б) s(abcd) = 53