Сторона квадрата равна 2см. Точка равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 4см от точки пересечения диагоналей. Найти расстояние от этой точки до вершин квадрата.

авсд -паралелограмм

к -вершина пирамиды, т.о пересечение диагоналей основания

ав=5

вс=4

вд=3

ок=2

sавсд=3*4=12 м²

< вда=90° т.к. стороны равны 3, 4, 5, тогда кд и кв являются высотами на ад и вс.

кд=кв=√(во²+ок²)=√(1,5²+2²)=√(2,25+4)=√6,25=2,5

sкда=sквс=0.5*кд*ад=0,5*2,5*4=5 м²

ор -высота на сд

δорд подобен δадв

од/ор=ав/ад

ор=1,5*4/5=1,2

кр=√(ор²+ок²)=√(1,2²+2²)=√1,44+4=√5,44=4√0,34

sква=sкдс=0,5*кр*дс=0,5*4√0,34*5=10√0,34=√34 м²

sпол=12+5+5+√34+√34=22+2√34=22+2*5,83=33,66 м²

пусть abcd - ромб, т.o - точка пересечения диагоналей

в ромба диагонали перпендикулярные и в точке пересечения делятся пополам, то есть ao=oc=24/2=12 и bo=od=10/2=5, тогда по теореме пифагора

                ( ad)^2=( ao)^2+(od)^2

                  (ad)^2=144+25=169

                  ad=sqrt(169)=13 - сторона ромба

    s=d1*d2/2=10*24/2=5*24=120 - площадь ромба

проведем дополнительно высоту ск. так как трапеция рвнобедренная, очевидно, что отрезок dk = (а-х)/2, где х - искомое основание вс.

из тр-ка скd: cd = dk/cosd = (a-x)/(2cosd).

с другой стороны из пр.тр-ка acd:   cd = a*cosd.

приравняв, получим: cos^2 (d) = (a-x)/2a                                                  (1)

но по условию:

ab^2 + x^2 = (11/16)a^2, а ав^2 = cd^2 = a^2 *cos^2(d) = a(a-x)/2

подставив получим уравнение:

a(a-x)/2  +  x^2 = (11/16)a^2                                                                                      (2)

домножим на 16 и к квадратному уравнению:

16x^2  - 8ax - 3a^2 = 0          d = 64a^2 + 192 = 64(a^2  +3)

x = (8a + 8кор(a^2 +3))/32      (другой корень - отрицателен)

x = (a + кор(a^2 +3))/4

bokovaya storona = 8

al'fa=60

h=7

men'waya osnov =8

64-49=15

a= men'wee osnovanie=7

b= bol'wee osnovanie=7+2sqrt(15)

mn=a+b/2= 7+7+2sqrt(15)/2=7+sqrt(15) otvet