2. Точки F и М лежат соответственно на сторонах AB и ВС треугольника ABC,
причем CF=AM, угол MAC= углу FCA. Докажите, что треугольник ABC равносторонний​

1. пусть a,h - основание и высота основного треугольника.

m,h - основание и высота отсеченного треугольника.

так как m - средняя линия, то:

m = a/2, h = h/2

значит площадь отсеченного треугольника - в 4 раза меньше исходного.

ответ: s/s = 1/4.

2. abcd - равнобедренная трапеция (около нее можно описать окружность)

т.о - середина ad (большего основания). ad = 2r - диаметр окр-ти. вс = r - радиус окр-ти.

тогда радиусы ов и ос разбивают трапецию на три правильных треугольника со стороной r.

значит углы трапеции: 60; 60; 120; 120 гр.

3. рисуем тр. авс так, что угол в - наибольший ( тупой). проведем биссектрису вк и высоту вм из вершины этого угла.

пусть угол а - наименьший, а = х.

тогда в = 4х, с = 180 - 5х.

в треугольнике вкм угол вкм = 90 - 12 = 78 гр. он является внешним к тр-ку авк. значит он равен сумме внутренних углов а и в/2.

х + 2х = 78

3х = 78

х = 26,  4х = 104, 180 - 5х = 50

ответ: 26, 50, 104 гр.

4. рисуем две касающиеся окружности: левая (меньшая) о1 и правая(большая) о2. проводим прямую через точки о1 и о2. крайняя левая точка пересечения с окр о1  пометим как а. проводим из точки а касательную ав к окр. о2. в - точка касания.

рассмотрим прям. тр-ик аво2. в нем:

ао2 = 2r1 + r2 = 10 + r2,  (гипотенуза).

о2в = r2 - катет против угла в 30 гр.

значит 2r2 = 10 + r2

r2 = 10,  2r2 = 20

ответ: 20

ас и вд - диаметры окружности с центром о, значит aо=bo=co=do - как радиусы,

диагонали четырехугольника авсд пересекаютсчя в точке о, и делятся в ней пополам, следовательно данный четырехугольник - параллелограм(по признаку параллелограмма)

сумма всех углов параллелограмма равна 360°, тогда один угол параллелограмма равен (360-240)=120­°. так как противоположны углы параллелограмма равны, то противоположен угол тоже равен 120°. два последующие угла равны по (360-240)/2=60°

углы параллелограмма равны 120°, 60°, 120°, 60°

смежные стороны равны по условию, и противолежащие стороны  у параллелограмма равны. следовательно все 4 стороны равны и такой параллелограмм является ромбом.