В правильной треугольной пирамиде боковая поверхность равна 27 дм^2 а периметр основания 18 дм. Найдите апофему и плоский угол при вершине пирамиды. (С рисунком)

опустим из середины отрезка перпендикуляр на плоскость а

тогда это - средняя линия треугольника и равна половине основания. 25/2=12,5 см

у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы. следовательно, чтобы центр описанной окружности лежал на ас, сторона ас должна быть гипотенузой треугольника, т.е она должна лежать против угла 90 градусов, противолежащий угол авс, равен 80 град, следовательно центр окружности не лежит на ас 

авс - равноб. тр-ик. ав = вс, ас = 48.

пусть вд - биссектриса, провед. к основанию. вд = 18. она же является и медианой, и высотой. тогда из прям. тр-ка авд найдем боковую сторону ав:

ав = кор(24кв + 18кв) = кор(576 + 324) = 30.

проведем медиану ае к боковой стороне вс. если знать cosв, то медиана вычисляется по теореме косинусов. найдем cosв из треугольника авс, применив теорему косинусов для нахождения стороны ас:

аскв = авкв + вскв - 2*ав*вс*cosв.

cosв = (900 + 900 - 2304)/1800 = - 504/1800 = - 7/25.

теперь из тр-ка аве найдем медиану ае:

аекв = авкв + векв - 2*ав*ве*cosв = 900 + 225 + 252 = 1377.

ае = кор1377.

ответ: корень из 1377 см. 

если ам = мd, то треугольник амd - равнобедренный, и уголмаd = углу мda,

но угол маd = углу dac ( так как ам - биссектриса).

значит угол мda = dac   - накрест лежащие углы равны.

значит по признаку параллельности:

md || ac.   что и требовалось доказать.