Через вершину квадрата abcd проведён к его плоскости перпендикуляр dk=10см. угол между плоскостями abc и kbc=45градусов. найти площадь квадрата abcd и треугольника bck.

по теореме о трех перпендикулярах, kc перпендикулярна bc, так как dc перпендикулярна bc. тогда угол kcd равен углу между плоскостями abc   и kbc и равен 45 градусам. треугольник kdc прямоугольный, так как kd перпендикулярно dc. тогда он также равнобедренный, kd=cd=10. площадь квадрата равна 10*10=100, чтобы найти площадь треугольника bck, найдем стороны bk и ck. bd - диагональ квадрата со стороной 10, тогда bd=10sqrt(2). bk - гипотенуза прямоугольного треугольника bdk со сторонами 10 и 10sqrt(2), тогда bk=10sqrt(3). ck - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными 10, тогда ck=10sqrt(2). так как 10^2+(10sqrt(2))^2=(10sqrt(3))^2, треугольник bck прямоугольный, и его площадь равна половине произведения катетов - двух меньших сторон. s=10*10sqrt(2)/2=50sqrt(2).

боковая сторона-5х,тогда основание-2х

периметр равен 2х+5х+5х=12х=48

значит,х=4,стороны треугольника 2х,5х,5х

и равны 8,20,20

фигура- криволинейный треугольник , ограничен : снизу - прямой   у=3, сверху-кривой у=х^3, с боков -прямыми х=корень   кубический из 3 и   х=2.

ее площадь = интегралу от f(x)=x^3   в пределах   х1=корень куб. из 3 и х2=2. первообразная=x^4/4 и s=(16-3*корень куб. из 3)/4