3. В треугольнике АВС (рисунок) на стороне AC взята точка K, BK =
= KC = AK, угол AKB на 30° больше угла С. Найдите
угол ABK.​

Объяснение:

По условию АК=СК=ВК ⇒  Отрезок ВК - медиана АВС и равна АС:2. Поэтому треугольники АВК и СВК - равнобедренные, углы при АС и при ВС равны.  Примем ∠КСВ=∠СВК=а. Тогда внешний угол при вершине К треугольника СВК угол АКВ=2а=а+60°, поэтому ∠КВС=∠СВК=60°, а ∠АКВ=120°. В равнобедренном ∆ АКВ ∠ВАК=∠АВК=(180°-120°):2=30°

треугольника с углами 45, 35 и 110 градусов не существует, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусам , а 45+35+110=190 (градусов).

радиус вписанной окружности: r = s/p,

радиус описанной окружности: r = abc/4s,

где s - площадь треугольника, р - полупериметр

площадь треугольника можно вычислить по формуле герона:

s= √p(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр

р =   (18 + 15 + 15)/2 = 24 см

s = √24(24-18)(24-15)(24-15) = 108 cм²

радиус вписанной окружности: r = 108/24 = 4,5 см,

радиус описанной окружности: r = (18 * 15 * 15)/(4*108)= 9,375 см