БАЛОВ

1. В остроугольном треугольнике АВС серединные
перпендикуляры сторон АВ и ВС пересекаются в точке О,
ОВ=10 см. Найдите расстояние от точки О до стороны АС, если
угол ОАС равен 30°.
2. В треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 пересекаются в
точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите площадь
треугольника АОВ, если АА1=18 см, ВВ1=24см.

3. В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и СС1
пересекаются в точке О. Найдите угол ОВА, если угол ОСА=
38°.
4. В треугольнике МНК биссектрисы пересекаются в точке
О. Расстояние от точке О до стороны МН=6см, НК= 10 см.
Найдите площадь треугольника НОК.

Одна из формул площади параллелограмма  s=a•b•sinα, где а и b  – соседние стороны,  α – угол между ними.  примем длину меньшей стороны равной х. тогда длина большей - 3х.  sin30°=1/2 ⇒ 24=х•3х•1/2 3х²=48⇒ х²=16 х=√16=4 см 3х=12 см. р=2(4+12)= 32 см

пусть abc - равносторонний треугольник

al,ck,bn - биссектрисы, медиана и высоты

al^2 = ab*ac - bl*lc

ck^2 = cb*ac - ak*kb

bn^2 = ab*bc - an*nc

ab = bc = ac (т.к треугольник abc - равносторонний)

ak = kb = bl = lc = cn = na (т.к. ab = bc = ac, а al,ck,bn - медианы)

al^2 = ab*ac - bl*lc = ac^2 - bl^2

ck^2 = cb*ac - ak*kb = ac^2 - bl^2

bn^2 = ab*bc - an*nc = ac^2 - bl^2

al = ck = bn

доказано

пусть х гр- угол между бок. сторонами,

4х гр-уг. при основ.

по теореме о сумме углов в треуг. (=180 гр)

х+4х+4х=180

9х=180

х=20 гр угол между бок. сторонами

4х=80 гр углы при основании

из середины   ас(точка т) восстанови перпендикуляр до пересечения с срединным перпендикуляром из середины ав. получим точку о. ( тогда центр впис. окр-ти назови о1)

найдем радиус опис. окр-ти r:

r = abc/4s = 5*7*8/(4*10кор3) = 7/кор3

тогда в прямоугольной трапеции focot:

осf = rc = 10кор3)/3, ft = 4+2 = 6, от = кор(r^2 - 16) = кор3)/3

тогда:

осо = кор(36 + (rc-ot)^2) = кор(36 + (3кор3)^2) = кор(36 + 27)= кор63 = 3кор7

ответ: осо = 3кор7