В треугольнике АВС проведены биссектрисы ВЕ и СМ. Найдите угол ВЕМ, если угол ВАС равен 60 градусов

у квадрата четыре оси симметрии. это 2 диагонали и 2 серединных перпендикуляра к сторонам квадрата.

1. треугольник авd - прямоугольный, угол ваd=90-60=30 (град), значит dв=ав/2 (катет, лежащий против угла в 30 град). т.е. ав=2dв=2*2=4 (см)

2. треугольник авс - прямоугольный, угол с=90-60=30 (град), значит ав=вс/2 (катет, лежащий против угла в 30 град), т.е. вс=2ав=4*2=8 (см)

3. dс=вс-dв=8-2=6 (см)

решение: пусть abcd – данная равнобедренная трапеция, ab||cd, bc=ad, ab< cd.

me=12 м-средняя линия трапеции.

косинус угла при основании равен корень(7)\4 , значит этот угол при большем основании(косинус острого угла) cos (adc)=корень(7)\4.

проведем высоту ak к основанию сd.

средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, поэтому

ab+cd=2*me=2*12 =24 м.

пусть dk=x м.тогда dk\ad=cos (adc).

ad=dk\cos (adc)=x\ корень(7)\4=4\7х*корень(7)

тогда по теореме пифагора

ak=корень (ad^2-dk^2)= корень((4\7х*корень(7))^2-х^2)=

=3\7*корень(7)*х

для того, чтобы четырёхугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон: a + c = b + d.

а учитывая, что трапеция равнобедренная, то получаем

24=2* 4\7х*корень(7), откуда

х=3*корень(7)

ak=3\7*корень(7)*х=3\7*корень(7)* 3*корень(7)=9 м

радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты, поэтому

радиус вписанной окружности рамен 9\2=4.5 м

ответ: 4.5 м

вершины треугольника лежат на окружности. значит, его углы вписанные и их величина равна половине градусной меры дуги, на которую опираются. 

примем величину дуги ав равной 2а, дуги вс=3а, ас=4а. сумма дуг составляет полную  окружность и содержит 360°. 

ав+вс+ас=2а+3а+4а=9а ⇒

а=360°: 9=40°

дуга ав=80°, вписанный ∠асв=40°

дуга вс=120°, вписанный ∠вас=60°

дуга ас=160°, вписанный  ∠авс=80°