Точка перетину бісектрис тупих кутів при меншій основі трапеції належить її більшій основі. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 25 см і 30 см, а висота – 24 см.​

розвязок: нехай точка а – основа опущеного перпендикуляра.

довжина похилої за теоремою піфагора:

  bc^2=корінь(ab^2+ac^2)= корінь(12^2+5^2)= 13 см.

відповідь: 13 см.

пусть авс-данный треугольник, угол с=90°, угол а=30°, сн=√3 см-высота.

1. рассмотрим δвнс-прямоугольный, < н=90°, < в=60°.

по определению синуса находим гипотенузу вс.

sin b = hc/bc

bc=hc/sin b = 2√3/√3 = 2 (см)

2. рассмотрим δавс-прямоугольный.

вс-катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы ав.

ав = 2вс = 2·2 = 4(см)

ответ. 4 см. 

в описанном 4-нике суммы противоположных сторон равны.

mn+pk = nk+mp.

пусть мn = x,  mp = y

x+(x+6) = y + 7y/6

2x + 6 = 13y/6

проведем биссектрисы углов 4-ника, они пересекутся в т.о - центре вписанной окружности. mnkp состоит из 4-х треугольников:

s(mon) = mn*r/2

s(nok) = nk*r/2

s(kop) = kp*r/2

s(mop) = mp*r/2

составим сумму площадей и приравняем ее 182.

r*(mn+nk+kp+mp)/2 = 182, и с учетом, что выражение в скобках - периметр - можно записать, как: р = 2*13у/6 = 13у/3,  а r = 8, получим:

4*13у/3 = 182

у = 14*3/4 = 10,5   

находим и другие стороны: 7у/6 = 12,25

2х+6 = 10,5 + 12,25 = 22,75

2х = 16,75

х = 8,375.

х+6 = 14,375.

ответ: mn = 8,375 см; рк = 14,375 см; мр = 10,5 см; nk = 12,25 см.