Докажите что четырехугольник psqt, заданный координатами своих вершин p(3; 0),s(-1; 3),q(-4; -1),t(0; 4),является квадратом и вычислите его площадь.

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1; y2-y1}. модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²). у нас |ps|=√[(-1-3)²+(3-0)²]=√25=5. |sq|=√[(-4+1)²+(-1-3)²]=√25=5. |pt|=√[(0-3)²+(4-0)²]=√25=5. векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. скалярное произведение: (a,b)=x1*x2+y1*y2. у нас (ps*sq)=(-4)*(-3)+3*(-4)=0, то есть вектора ps и sq перпендикулярны. (ps*pt)=(-4)*(-3)+3*4=24, то есть вектора ps и sq  не перпендикулярны. видимо, в условии ошибка. точка т должна иметь координаты т(0; -4). и тогда вектор |pt|= √[(0-3)²+(-4-0)²]=√25=5. (ps*pt)=(-4)*(-3)+3*(-4)=0, то есть вектора ps и pt перпендикулярны. этого достаточно, чтобы сказать, что четырехугольник psqt - квадрат. но для проверки координат точки т(0; -4) найдем модуль вектора |qt|=√[(0+4)²+(-4+1)²]=√25=5. (sq*qt)=(-3)*(4)+(-4)*(-3)=0, то есть вектора ps и pt перпендикулярны. ответ: четырехугольник psqt квадрат, при условии, что вершины имеют координаты: p(3; 0), s(-1; 3), q(-4; -1), т(0; -4).

1)av - биссектриса

по св-ву бисскетрисы => что ac\ab = cv\vb = 1\2

т.к. ab = 2ac => что угол abc = 30 градусов, угол cab = 60 градусов

ab = bc\cos30 = 12\корень из 3

ac = 6\корень из 3

2)cm - медиана

рассмотрим треугольник cam

am = 6\корень из 3 = ac

по теореме косинусов находим медиану

3)пусть ck - высота

рассмотрим треугольник akc

ak = accos60 = 3\корень из 3

kb = ab - ak = 3

kc^2 = ak kb = 9 корней из 3

4)sabc = cbac\2 = 18\корней из 3

p=(9+3корня из 3)\корень из 3

r = s\p = 6\(6+корень из 3)

r = abc\4s = 2\корень из 3