Два кути відносяться як 1 : 5, а суміжні з ними – як 11 : 7. знайдіть дані кути.

расстояние от середины отрезка ab до плоскости: х

от а до плоск: аа1

от в до плоск: вв1

х=(aa1+bb1)/2=(2,4+4,6)/2=3,5

пусть abcdefm - данная пирамида, о - ее центр, пусть к -середина ab

тогда om=16 mk=20

с прямоугольного треугольника omk по теоереме пифагора

ok=корень(mk^2-om^2)=корень(20^2-16^2)=12

с равностороннего треугольника abc

oa=ob=ab=2ak=2bk=2\3*корень(3)*12=8*корень(3)

sбп=6*s (abm)=6*1\2*ab*mk=3*20*8*корень(3)=480*корень(3)

ответ: 480*корень(3)

пусть треугольник abc. тогда и треугольник aob-равнобедренный (по свойству биссектрис(теорема штейнера — лемуса). угол aob равен 120 градусов(по свойству равнобедренного треугольника). значит угол с равен 100 градусов (с=120-20=100)

ответ: 100 градусов 

решение: пусть аbcd – данный ромб, угол а=угол с=l.

площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами

s=ab^2 *sin a

s=a^2* sin l

полупериметр робма равен полусумме сторон ромба

p=4*a\2=2*a

площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

s=p*r

откуда

r=s\p= a^2* sin l \ (2*a)=a\2* sin l

пусть   x, y – точки касания вписанной в ромб   окружности со сторонами ab и ad соответсвенно , пусть h – точка пересечения, прямой fg, перпендикулярной к   диагонали ас, вторая окружность касается сторон   ab и ad   и соприкасается с первой окружностью в точке h, значит вторая окружность – окружность вписанная в треугольник afg.

угол b=угол d=180 – угол а=180-l

диагональ ас ромба равна по теореме косинусов

ac^2=ab^2+bc^2-2*ab*bc*cos b=

=a^2+a^2-2*a*a*cos (180-l)=2*a^2* (1+cos l)

ac=корень(2*a^2* (1+cos l))=2*а*|cos l\2|=2*a*cos (l\2)

(воспользовались формулой понижения квадрата косинуса)

пусть о – центр вписанной в ромб окружности

диагонали ромба пересекаються и в точке пересечения делятся пополам, причем точка пересечения является центром вписанной в ромб окружности(свойство ромба)

значит ао=1\2*ас=1\2*2*a*cos (l\2)= a*cos (l\2)

далее ah=ao-oh= a*cos (l\2) -a\2* sin l=a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))

af=ah\cos (a\2)= a*cos (l\2)*(1-sin(l\2)) \cos (l\2)=

= a*(1-sin(l\2))

fh=ah*tg (a\2)= a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))*tg (l\2)= a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))

fg=2*fh=2* a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))

треугольники afh и agh равны как прямоугольные за катетом и острым углом(угол fah=угол gah – диагональ ромба есть его биссектриссой – свойство ромба, ah=ah,

прямая fg касательная к первой окружности, значит перпендикулярная к ас, отсюда углы fha и gha   прямые).

из равенства треугольников получаем af=ag

площадь треугольника равна произведению половины основания на висоту

площадь треугольника afh :

s (afg)=fh*ah= a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))* a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))=

1\2*a^2   *sin l *(1-sin(l\2))*^2

полупериметр треугольника равен

p (afg)= (af+fg+ag)\2=( a*(1-sin(l\2))+ a*(1-sin(l\2))+ 2* a*sin (l\2)*(1-sin(=

a*(1-sin(l\2))+ a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))= a*(1-sin(l\2))*(1+sin(l\2))=

a*(1-sin^2 (l\2))=a*cos^2 (l\2)

радиус вписанной окружности в треугольник равен площадь\полуперимтер,

радиус равен   1\2*a^2   *sin l *(1-sin(l\2))*^2 \( a*cos^2 (l\2))=

=a*tg (l\2)*(1-sin(l\2))^2

ответ:   a*tg (l\2)*(1-sin(l\2))^2