Основания abc и a1b1c1 призмы abca1b1c1— равносторонние треугольники. отрезок, соединяющий центр o основания abc с вершиной c1, перпендикулярен основаниям призмы.
найдите угол между прямой aa1 и плоскостью abc1, если боковое ребро призмы равно стороне основания.

ответ:

sin(∠a1ah1) = √6/3. угол ≈ 54,7°

объяснение:

достроим верхнее основание призмы до ромба, проведя a1d1 и c1d1 параллельно b1c1 и a1b1 соответственно. точка d1 принадлежит плоскости авс1.

треугольник а1с1d1 равен треугольнику авс по трем сторонам по построению.

a1d = ce (высоты равных правильных треугольников).

при а=1.   ce = √3/2 - как высота правильного треугольника.

в треугольнике авс ое = (1/3)*(√3/2)=√3/6,

со = (2/3)*(√3/2)=√3/3 по свойству правильного треугольника.

в треугольнике сос1 по пифагору:

ос1 = √(сс1² - со²) = √(1 - 3/9) = √6/3.

в треугольнике с1ое по пифагору:

с1е = √(ос1² + ое²) =   √(6/9+3/36) = √3/2.

треугольник cec1 - равнобедренный.   => высота к боковой стороне сн = ос1 = √6/3.

треугольник аа1d равен треугольнику сс1е по построению (a1d=ce, ad=c1e). =>   a1h1 = c1o = √6/3.

угол a1ан1 - искомый угол по определению (ah1 - проекция аа1 на плоскость авс1.

sin(∠a1ah1) = ah1/aa1 = √6/3. угол ≈ 54,7°

сначала найдем радиус. длина окр =2пиr, 2пиr=8пи                           

                                                                                                                                    2r=8

                                                                                                                                        r=4

найдем высоту цилиндра. сечение - прямоугольник, его площадь2rн=32,   

                                                                                                                                                                                                            8н=32,

                                                                                                                                                                                                              н=4

площ бок поверх= произведению высоты на длину окр, s=4*4=16 см кв

площадь треугольника равна 1/2 основания умноженного на высоту.

обозначим основание буквой а, а высоту буквой h. тогда s=ah/2.

по условию , площадь треугольника равна 25. tогда ah/2=25

тангенс угла при основании равен h/(a/2) = 2h/a.

по условию tga=4.

следовательно, 2h/a=4

                                                  2h=4a

                                                    h=4a/2

                                                    h=2a

теперь подставим найденное значение h в формулу площади треугольника:         a*2a/2 = 25

                                                    a^2=25

                                                    a=+-5

                                                    а> 0, значит а=5 (см)-длина основания

ответ: 5 см