Дана окружность, диаметр mn которой равен 16. на касательной к этой окружности в точке m отложен отрезок mp, длина которого больше, чем 15. из точки p проведена вторая касательная к окружности, пересекающая прямую mn в точке q. найдите площадь треугольника mpq, если его периметр равен 72.

пусть mp=x, nq=y треугольник mpq прямоугольный так как mp диаметр.  

по теореме о секущей lq^2=y*(y+16) из условия

p=mp+pq+mq=2mp+lq+nq+mn=2x+y+√(y(y+16))+16=72 или  

sqrt(y(y+16))+y+2x=56  

по теореме пифагора x^2+(16+y)^2=(√(y*(y+16))+x)^2  

система  

{√(y(y+16))+y+2x=56  

{x^2+(16+y)^2=(√(y*(y+16))+x)^2      

(√(y(y+16))+x)^2=(56-y-x)^2

приравнивая со вторым  

(56-(y+x))^2=x^2+256+32y+y^2

56^2-112(x+y)+2xy=256+32y  

x = (72(y-20)/(y-56))  

подставляя в первое уравнение системы

√(y(y+16))+y+(144(y-20)/(y-56)) = 56  

или

(y(y+16))   - (56 - (y+(144(y-20)/(y- = 0

32(y+16)(y-2)(5y-64)=.

y=2, y=64/5

при y=64/5 , x< 15

при y=2, x=24> 15

значит     s(mpq) =   x(16+y)/2 = 24*18/2 = 216

проводим высоту в трепеции,чтобы получился прямоугольный треугольник.гипотенуза равна 1,3,и один катет равен 2,5-2=0,5(т.к.основания параллельны)

по теореме пифагора

0,5^2+a^2=1,3^2

1,69-0,25=1,44

a=1,2

этот катет параллелен и равен второй боковой стороне,следовательно периметр равен 1,2+2,5+1,3+2= 7 см