Известно, что авс - прямоугольный треугольник с прямым углом с, a cd - высота, проведенная из вершины с к гипотенузе ав. из подобия треугольников , что bc2 =ab + bd.

етрия.  8  класс. тест  4.  вариант  1.

в δ авс   ∠асв = 90°.  ас и вс — катеты, ав — гипотенуза.

cd — высота треугольника, проведенная  к гипотенузе.

ad — проекция катета ас на гипотенузу,

bd — проекция катета вс на гипотенузу.

высота cd делит треугольник авс на два подобных ему (и друг другу) треугольника: δ adc   и   δ cdb.

из пропорциональности сторон подобных   δ adc   и   δ cdb следует:

ad  :   cd = cd  :   bd. отсюда cd2  = ad  ∙  bd. говорят:   высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе,  есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.

из подобия δ adc   и   δ аcb следует:

ad  :   ac = ac  :   ab. отсюда  ac2  = ab  ∙  ad. говорят:   каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу.

аналогично, из подобия δ сdв   и   δ аcb следует:

bd  :   bc = bc  :   ab.  отсюда  bc2  = ab  ∙  bd.

решите :

1.  найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если она делит гипотенузу на отрезки 25 см и 81 см.

a)  70 см;   b)  55 см;   c)  65 см;   d)  45 см;   e)  53 см.

2.  высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 9 и 36. определить длину этой высоты.

a)  22,5;   b)  19;   c)  9;   d)  12;   e)  18.

4.  высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 22, проекция одного из катетов равна 16. найти проекцию другого катета.

a)  30,25;   b)  24,5;   c)  18,45;   d)  32;   e)  32,25.

5.  катет прямоугольного треугольника равен 18, а его проекция на гипотенузу 12. найти гипотенузу.

a)  25;   b)  24;   c)  27;   d)  26;   e)  21.

6.  гипотенуза равна 32. найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 2.

a)  8;   b)  7;   c)  6;   d)  5;   e)  4.

7.  гипотенуза прямоугольного треугольника равна 45. найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 9.

8.  катет прямоугольного треугольника равен 30. найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 17.

a)  17;   b)  16;   c)  15;   d)  14;   e)  12.

10.  гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41, а проекция одного из катетов 16. найти длину высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

a)  15;   b)  18;   c)  20;   d)  16;   e)  12.

a)  80;   b)  72;   c)  64;   d)  81;   e)  75.

12.  разность проекций катетов на гипотенузу равна 15, а расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно 4. найти радиус описанной окружности.

a)  7,5;   b)  8;   c)  6,25;   d)  8,5;   e)  7.

сверить ответы!

пересекающиеся прямые образуют два равных треугольника т.к. их боковые стороны равны ep=pf=np=pm по условию и угол epn= углу mpf как  противолежащие. и так как отрезки en и mf находятся на одинаковом расстоянии от т. р и  являются основаниями равных треугольников с противолежащими углами, то они параллельны друг другу.

половина диагоналей 7 и 24

они образуют треугольник прямоугольный => гипотенуза равна 25 и это же сторона ромба=> периметр=100