Втетраэдре dabc точка m-середина ad, p принадлежит dc и dp\pc=1\2. постройте сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точек m и p и параллельной bc. найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.

Всечении имеем равнобедренный  треугольник мрк. мк = мр. сторона рк  (по свойству подобных треугольников)  равна 1/4 части вс: рк =a/4. так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон мк и мр находим по теореме косинусов из треугольника мдp: (по условию мд = a/2, а  кд = рд = a/4) pm =  √((a²/4)+(a²/16)-2*(a/2)*(a/4)*cos60) = =  √((4a²+a²-2a²)/16 = (a√3) / 4. высота h  треугольника рмк равна: h =  √((3a²/16) - ((a/4)/2)²) = a√22 / 8. искомая площадь равна:   s(mpk) = (1/2)*(a/4)*(a√22/8) = a²√22 / 64.

пусть kc=x, тогда из подобия треугольников mbk и   abc, составим отношение

 

mk: bk=ac: bc

x: 2=12: 2+x

x(2+x)=24

x^2+2x-24=0

решая уравнение получим x=-6 - побочный корень и x=4

то есть bc=bk+kc=2+4=6

теорема (соотношение между стороной треугольника, противолежащим углом и радиусом описанной окружности).

сторона делить на синус противолежащего угла = 2 радиуса 

синус равен 0.5 ответ 16