Решить под б) ( 16 из егэ профиль) в прямоугольном треугольнике abc точки m и n — середины гипотенузы ab и катета bc соответственно. биссектриса угла bac пересекает прямую mn в точке l. а) докажите, что треугольники aml и blc подобны. б) найдите отношение площадей этих треугольников, если cosbac=7/25

А) прежде всего заметим, что и aml, и blc равнобедренные треугольники. aml имеет равные углы при вершине a и l (a - равен углу cal - так как al - биссектриса), а углы cal и alm равны так как al  пересекает два параллельные прямые ac и mn (средняя линия треугольника параллельна основанию). blc  имеет равные стороны, так как nl - его высота - перпендикулярная основанию и точка n делит основание на два равные части. нетрудно показать что углы при основаниях этих двух равнобедренных треугольников равны. во-первых, обратим внимание на то, что треугольник alb - прямоугольный (так как am=mb - по условию, am=ml - так как это стороны равнобедренного треугольника, то есть это треугольник вписанный в окружность, причем сторона ab - лежит на ее диаметре). углы cal и cbl равны так-как это углы пересечения сторон двух прямых углов. но mal = cal (биссектриса)  стало быть углы при основаниях равнобедренных треугольников aml и bcl равны, и эти треугольники подобны по равенству углов.  б) для того, чтобы найти отношение площадей достаточно найти соотношение боковых сторон. |am| = с/2. а вот с |bl| по сложнее - это = 0.5*a/cos(a/2), где a - угол при вершине a исходного треугольника. но cos(a/2) = корень((1+cos(a))/2). то есть |bl| = 0.5*a/корень((1+7/25)/2). если вспомнить, что a = c*sin(a) = c*корень(1-cos(a)*cos( то получаем |bl| = 0.5*c*корень(1-(7/25)*(7/25))/корень((1+7/25)/2). отношение площадей равно квадрату отношения сторон: saml/sblc = 0.5*(1+7/25)/(1-(7/25)*(7/25)) = 0.5*32*25/(25*25-7*7) = 400/576 = 25/36 или примерно 0.69444

если разбить шестиугольник на треугольники, то они будут равнобедренными и углы при основании будут 60 градусов, т.есть правильный треугольник. значит площадь треугольника одна вторая на радиус на радиус на синус угла между ними.

площадь всего шестиугольника равна тоже самое только умноженное на 6. получаем уравнение 6*(1/2)*r*r*(корень из3деленный на два)=(72корень из3)

r= корень из 48=4корень из3

 

sin угла в=ас/вс    отсюда следует, что, ас = sin угла в * вс=0,5*50=25 см.

а по теореме пифагора ас приблизительно будет равно  43 см.