Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 12, длина боковой стороны равна 4, синус угла при основании равен 0,9 вычислить где - острый угол между диагоналями трапеции.

как все любят усложнять :

этот угол  α/2 очевидно равен углу, который диагональ образует с большим основанием. (*)

поэтому по теореме синусов

4/sin(α/2) = 12/0,9; sin(α/2) = 0,3.

это все решение.

(*) обоснование этого простого факта - биссектриса острого угла между диагоналями перпендикулярна биссектрисе тупого угла между ними (биссектрисы смежных углов), а биссектриса тупого угла - это биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, образованного большим основанием и двумя равными отрезками диагоналей. такая биссектриса перпендикулярна основанию, поэтому биссектриса смежного угла параллельна основанию, и угол между ней и диагональю равен углу между диагональю и основанием, как соответственные углы между параллельными и секущей. 

все это долго записывается, но соображается моментально : )

1) 50мм=5см

(3x)²+(4x)²=25

9x²+16x²=25

25x²=25

x²=1

x=1

значит, катеты треугольника равны 3см и 4см

2) гипотенуза разбивается высотой на отрезки y и (5-y). рассматриваются два прямоугольных треугольника с общей стороной(высота):

3²-(5-y)²=16-y²

9-25+20y-y²=16-y²

20y=32

y=32/20=1,6

5-1,6=3,4

ответ: 1,6см и 3,4см

треуг.-прямоуг.,равнобедренный, соединим центр с вершиной угла =90 град., это тоже корень из 8, тогда катет по пифагору=корень из (8+8=16)=4, другой катет такой же. ответ 8.