докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника
пусть дан ромб авсd, точки к, м, н и т - середины его сторон. соединим их последовательно.
диагонали ромба ас и вd пересекаются под прямым углом и каждая делит ромб на два равных треугольника, a ак=кв, вм=мс, сн=нd и dт=та по условию. ⇒
км и тн - средние линии равных треугольников авс и сdт и параллельны диагонали ас ромба. ⇒ км=тн
аналогично тк и мн - средние линии треугольников авd и свd и параллельны диагонали вd ромба. ⇒ кт=мн.
стороны четырехугольника ткмн параллельны и равны - кмнт - параллелограмм.
диагонали ромба точкой их пересечения делятся пополам и, пересекаясь, делят четырехугольник ткмн на 4 равных параллелограмма, углы которых при точке пересечения диагоналей ромба о прямые. ⇒
углы к, м, н и т противоположны углам при о и по свойству углов параллелограмма равны им. следовательно,
четырехугольник ткмн - прямоугольник с вершинами в серединах сторон ромба, что и требовалось доказать.
Популярные вопросы