Найдите большую диагональ параллелограмма abcd, если ad=4, угол a=60°,а высота bh треугольника abd равна √3

рассмотрим ∆ авн. 

угол ваd=60°, ав=ан/sin 60°=√3: (√3/2)=2 ⇒ ан=ав•cos60°=2•0,5=1

из прямоугольного ∆ внd по т.пифагора вd²=bh²+dh²=3+9=12

найдем ас.

способ 1.

сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

вd²+ас²=2•( ab²+ad²) 

12+ac²+2•(4+16) ⇒  ac² =28 откуда  ac=2√7 см

способ 2.

опустим высоту ск на продолжение стороны аd.

∆ abh=∆ cdk ( равные соответственные углы при а и d и равные катеты вн=ск).⇒

ak=ad+dk=5⇒ 

  ас=√(ck²+ad²)=√28=2√7 см

способ 3 - теорема косинусов, (угол авd=180°-60°=120°). вычисления приводить не буду, они дадут тот же результат. 

пусть одна сторона треугольника равна x, тогда остальные равны 1,5x и 2x соответственно.

x+1,5x+2x=45

4,5x=45

x= 10, вторая сторона 1,5x=15 и третья 2*10=20

наибольшая сторона подобного треугольника равна 20см.

пусть сторона треугольника равна x, тогда

x^2-(x/2)^2=36^2

3x^2=5184

x^2=1728

x=24*sqrt(3)

радиус определим по формуле

r=a*sqrt(3)/6

в нашем случае   r=24*sqrt(3)*sqrt(3)/6=12