Биссектрисы треугольника abc пересекаются в точке o, причем угол aob = углу boc = 110 градусам. а) докажите, что треугольник abc - равнобедренный, и укажите его основание. б) найдите углы данного треугольника

рассмотрим boc ос=оа(радиуси опис. окр.)

во-общая

углы вос и воа равни

треугольникивос=воа

вс=ва - треуг авс-равн. сосн ас

б)уголсоа=360-2*(110)=140град

треуг.соа-равн.(со=ао)

уголоса=оас=(180-соа)/2=20град.

углыовс=осв=(180-сов)/2=35 (треуг.сво - равн)ос=ов(радиуси опис. окр.)

углыова=оав=(180-воа)/2=35

уголвас=55           асв=55                   авс=70

пусть угол а=2а, то есть биссектриса делит его на два угла, равным а, аналогично с углом в (2в) и углом с (2с).

рассматриваем треугольник аво и треугольник овс:

по т. о сумме углов треугольника в треугольнике аво:

110+а+в=180,

в треугольнике овс:

с+в+110=180.

приравниваем, получаем:

110+а+в=110+с+в

а=с

значит, 2а=2с, а значит, угол с равен углу а, следовательно треугольник авс - равнобедренный с основание ас.

дальше:

угол аос = 360-110-110= 140.

треугольник аос, по т. о сумме углов треугольника:

а+с+140=180, но т.к. а=с:

2а+140=180

2а=40, значит угол а=угол с=40.

тогда угол в по т. о сумме углов трегольника: 180-40-40=100.

1) см. рис

а и а1 точки пересечения окружностей с центрами о и к

ар перпендикуляр на продолжение ок

ар=у

ор=х

оа=4

ка=8

ок=6

х²+у²=4²=16

(х+6)²+у²=8²=64  ⇒ у²=64-(х+6)², подставляем в первое

х²+64-(х+6)²=16

х²+64-х²-12х-36-16=0

12х=12

х=1

у=√(16-1)=√15

l -расстояние от т.о до ц. окр. м касающихся одновременно двух данных, т.е. в т.а и а1 (необходимо найти ма)

ма²=(х+l)²+у²=(1+l)²+15

2)

авс - треугольник, а=60, в=50, с=70, т.н пересечение

аа1, вв1, сс1 высоты.

< анс1=< сна1=< 3 (вертикальные)

< bhc1=< chb1=< 1 (вертикальные)

< bha1=< ahc1=< 2 (вертикальные)

δвна1 подобен δвсв1 ⇒< bha1=< с=70

δвнс1 подобен δвав1 ⇒< bhc1=< а=60

δсна1 полобен δсвс1 ⇒< сна1=< в=50

3) см рис. 2

< α=180-90-48=42°

меньшая боковая сторона  равна  8 * sin 60° = 4 * √3

радиус вписанной окружности равен половине меньшей боковой стороны, то есть  2 * √3

разность боковых сторон  8 * cos 60° = 4

основания а и в находим исходя из того, если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны.

получаем систему уравнений

а + в = 8 + 4 *  √3                                    а = 6 + 2 * √3

а - в = 4                                  тогда        в = 2 + 2 * √3