Средняя линия треугольника abc, параллельна стороне ac и делит треугольник на части, периметру которых пропорциональны числам 5: 3. разность периметров этих частей равна 6дм. найдите периметр треугольника abc. надо)

Чтобы не было по возможности дробей, обозначим стороны ab=2c; bc=2a; ca=2b. средняя линия разбила треугольник на трапецию со сторонами c, b, a, 2b (⇒ ее периметр = a+3b+c)  и треугольник со сторонами c, a, b (⇒его периметр = a+b+c) разность этих периметров равна 2b=ac=6. кроме того, по условию 5(a+b+c)=3(a+3b+c)⇒ 2a+2c=4b=12⇒ периметр треугольника abc равен 2a+2b+2c=18. ответ:   18

средняя линяя равна полусумме оснований,возьмем второе основание за а,тогда

а+6=22

а=16

найдем скалярное произведение: a"b" = ab*cos5п/6 = (-abкор3)/2              (1)

теперь составим систему уравнений для нахождения a и b (модулей), скалярно умножив сами на себя вектора, в условии:

(a"+b"кор3)(a"+b"кор3) = a^2 + 2a"b"кор3 + 3b^2

(2a" - b"кор3)(2a" - bкор3) = 4a^2 - 4a"b"кор3 + 3b^2                                                          (2)

подставим (1) в (2) и получим систему чисто для модулей векторов a" и b":

a^2 - 3ab + 3b^2 = 1

4a^2 + 6ab + 3b^2 = 31

попробуем :

вычтем из второго - первое и получим:   a(a+3b) = 10                                                        (3)

теперь домножим первое на 31 и вычтем второе:

27a^2 - 99ab + 90b^2 = 0

3a^2 - 11ab + 10b^2 = 0      однородное уравнение.

делим на b^2 и обозначим a/b = t:

3t^2 - 11t + 10 = 0        d = 1    t1 = 2,    t2 = 5/3

1.  a/b = 2      и добавим (3)

        a^2 + 3ab = 10

a = 2b                                                        a = 2

4b^2 + 6b^2 = 10                        b = 1

вектора 3a" и 2b" образуют треугольник с тем же углом 5п/6 между ними. разность векторов это вектор соединяющий концы этих векторов - то есть третья сторона треугольника. найдем ее по теореме косинусов:

|3b-2a| = кор{9b^2 + 4a^2 +2*3b*2a*(кор3)/2} = кор{9 + 16 + 12кор3}=

кор(25+12кор3).

2. a/b = 5/3

      a^2 + 3ab = 10

a=5b/3                                                                                                              a = 5/(кор7)

25b^2 /9 +5b^2 = 10          5b^2 /9  + b^2 = 2    b = 3/(кор7)

|3b-2a| = кор{81/7  +  100/7  + 2*(9*10/7)*(кор3)/2}=

= [кор(181 + 90кор3)] / кор7

ответ: кор(25+12кор3) ;   [кор(181 + 90кор3)] / кор7